论几何直观的教育教学价值

李树臣（山东省沂南县教育局）

摘要：几何直观是《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出的十大核心概念之一，是影响学生数学能力发展的重要因素之一。几何直观在本质上是以图形和直观符号为活动要素，以直观化的信息加工过程为形态的一种认知方式。借助于图形的直观性可以帮助我们深刻理解、学习数学的基础知识，发现一些数学问题的解题思路，培养学生的探究意识，更好地理解数形结合的思想。

关键词：几何直观；数学学习；几何概念；创造性思维能力

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准（2011年版）》）提出了十个核心概念，其中之一便是几何直观。广大教师已经认识到，几何直观是影响中小学生数学发展的重要因素之一，学生的几何直观能力成为其数学素养的一个重要方面，数学教学必须重视培养和发展学生的几何直观能力。笔者在简述几何直观意义的基础上，重点论述它在教学中的作用。

一、正确认识几何直观的意义

要有效地培养学生的几何直观能力，首先需要对几何直观有一个比较深刻、全面的认识。关于几何直观的意义，可谓众说纷纭，呈现出百花齐放的局面.

M.克莱因指出，决定概念的正确性和可接受性的是直观，而不是经验和逻辑。数学的直观就是对概念、证明的直接把握。数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正确的直觉上。西方哲学家通常认为，直观就是未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察，直接把握对象的全貌和对本质的认识。心理学家认为，直观是从感觉的具体的对象背后，发现抽象的、理想的能力。荷兰数学教育家弗莱登塔尔也指出，几何直观能告诉我们什么是可能重要、可能有意义和可接近的，并使我们在课题、概念与方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。有学者则认为，直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。

《<义务教育数学课程标准（2011年版）>解读》则认为，几何直观有两点：一是几何，这里的几何是指图形；二是直观，这里的直观不仅仅是指直接看到的东西（直接看到的是一个层次），更重要的是依托现在看到的、以前看到的东西进行思考、想象。

综合以上观点，几何直观就是依托、利用图形进行数学的思考和想象。它在本质上是一种通过图形所展开的想象能力。

二、几何直观的教育教学价值

希尔伯特曾在其著作中写到，图形可以帮助我们发现、描述研究的问题；可以帮助我们寻求解决问题的思路；可以帮助我们理解和记忆得到的结果。这就是几何直观带给我们的好处。《标准（2011年版）》指出，几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。这实际上是对几何直观的作用所做的解释性、统领性说明。

1.利用几何直观引入一些基本的几何概念

在学习点、线、面、体等最基本的几何概念时，可以引导学生观察给定的一些照片、实物、图形等，在观察的基础上，通过比较，找出事物的不同特征，归纳出概念的本质特征。

例1 全等形的引入过程.

为引入全等形的概念，可提出下面的问题引导学生进行观察与思考：

（1）分别观察图1中的三组图片，你有什么发现？如果将每组中的两张图片用适当的方式叠合在一起，它们能够完全重合吗？

（2）观察图2，你发现图中两个图形的形状和大小有怎样的关系？

【设计意图】问题（1）的目的是让学生感受每组图片中的两个图形进行叠合将会发现它们能够重合，初步形成对全等图形的感性认识。学生借助解答问题（1）的经验，发现图2中的两个几何图形通过适当的方式进行叠合，也能够完全重合。由此可以知道它们的形状相同，大小相等。在此基础上，可以给出全等形的概念。

2.借助几何直观发现有关结论

美国数学家阿蒂亚指出，在几何中，视觉思维占主导地位，而代数中有序思维占主导地位。所以，几何首先用到的是最直接的形象思维，用形象思维洞察。在数学教学中借助几何直观可以发现数学中的很多结论，从而有效地学习数学知识。

例2 平方差公式的发现过程。

为了让学生借助几何的直观性自己发现平方差公式，可以设置下面的问题引导学生去观察、交流，从而发现结论.

（1）时代中学计划将一个边长为a米的正方形花坛，改造成长为（a+2）米，宽为（a-2）米的长方形花坛。你会计算改造后的花坛面积吗？如果改造成长为（a+1）米，宽为（a-1）米的长方形花坛呢？

（2）如图3，在长为a+b，宽为a-b的长方形中，剪去一个长为a-b，宽为b的（a＞b＞0）的小长方形，然后把长方形①②拼接成如图4所示的图形，分别计算它们的面积。由此，你有什么发现？相互交流自己的看法。

3.几何直观有利于培养学生的探究意识

学生学习的过程与科学家的研究过程在本质上是一致的。数学教学应结合具体的学习内容，精心设计有效的探究活动，使学生在探究的过程中，借助于几何的直观性发现问题、提出问题、分析问题直至解决问题。

例3 “同位角相等，两直线平行”的探究发现过程。

“同位角相等，两直线平行”是平行线的三个判定方法之一，对于这个判定方法可以引导学生通过探究自主发现。其引导过程分为以下四个环节.

（1）教师用三根硬木条制成“三线八角”活动教具，把木条a，c固定不动，让木条b绕着点A转动，如图5所示。

师：随着b的转动，∠1的大小有没有变化？

生：有变化。

师：b转到什么位置时，有b∥a？

生：b转到图5所示的虚线位置时，有b∥a。

（3）引导学生进行探究活动并发现规律。

师：从前面的论述中，你发现了什么？

生：判断两直线平行的问题，可以转化为判断两个角相等的问题。

师：你能用自己的语言把你所发现的规律叙述出来吗？

生：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简单说成：同位角相等，两直线平行。

（4）指导学生用图形语言、文字语言和符号语言分别表示平行线的这一判定方法。然后再辅以适当的练习，学生就可以完成对这个判定方法的学习。

让学生经历探究过程，不仅能获取知识、发展技能、培养能力，逐渐形成创新意识，而且还能受到科学价值观、科学方法等的教育，并发展自己的个性。充分体现了《标准（2011年版）》提出的人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展的基本理念。

4.利用几何直观可以加深学生对数学知识的认识和理解

学生对几何形体的学习，不能只停留在直观感知这个初级阶段，还应充分发挥表象的桥梁作用，使具体的感性认识逐渐过渡到抽象的理性认识。学生形成表象的结果往往与教师出示的图形方式有很大关系。如果教师只出示标准图形，很可能使学生把图形的本质特征与其个别属性联系起来，产生扩大或缩小概念的外延或内涵的错误。在一些几何概念教学中，为使学生巩固和加深对概念的认识，更好地把握概念的内涵和外延，既要利用标准图形，还要列举出该概念外延之内或之外的一些例子，让学生根据定义自己去识别、辨认、交流，通过这样的一些活动，达到加深对所学概念理解和掌握的目的。

例4 辨别哪些是同位角。

同位角是由两条相交直线被第三条直线所截而构成的，教学时为了使学生掌握其本质，我们可以给出图7中所示的四个图例，让学生辨别哪些角是同位角，哪些角不是同位角。

例6 什么时间出发？

某旅行团从甲地到乙地游览，甲、乙两地相距100公里，团中的一部分人乘车先行，余下的人步行，先坐车的人到途中某处下车步行，汽车返回接先步行的那部分人，已知步行时速是8公里，汽车时速是40公里，问要使大家在下午4∶00同时到达乙地，必须在什么时间出发？

这个问题实质上求的是如果按照题设的行走方式，至少需要几个小时.

解析：设先坐车的一部分下车地点距离甲地x公里，这部分人下车地点距离另一部分人的上车地点相距y公里，如图10所示.

参考文献：

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