【原】η(z)函数的欧拉积分式

（1）a＞0：（z=a+bi）

        η(z)=∑(n=1…∞)(-1)^n-1n^-z.

（2）a＞-1：

        η(z)=1/2+z∫(1,∞)A1(x)x^-z-1dx

              其中，A1(x)=(-1/2)cos([x]π)

（3）a＞-2：

        η(z)=1/2-A2(1)z+z(z+1)∫(1,∞)A2(x)x^-z-2dx

              其中，A2(x)=A1(x)(x-[x]-1/2)

                                =(1/2)｜y｜-1/4

                             y=x-2[x/2]-1

（4）a＞-3：

        η(z)=1/2-A2(1)z-A3(1)z(z+1)+z(z+1)(z+2)∫(1,∞)A3(x)x^-z-3dx

其中，A3(x)=(1/4)y｜y｜-(1/4)y

 

······依此类推

 

（二）Ak(x)的求法：

（1）A2(x)=f2(y)=(1/2)｜y｜-1/4        →A2(2)=A2(0)=f2(1)=f2(-1)=1/4

（2）f3(y)=f3(-1)+∫ (-1,y)f2(y)dy

               =(1/4)y｜y｜-(1/4)y+f3(-1)        →A3(2)=A3(0)=f3(1)=f3(-1)

（3）f4(y)=f4(-1)+∫(-1,y)f3(y)dy

               =(1/12)y²｜y｜-(1/8)y²+f3(-1)y+1/24+f4(-1)       

        由f4(1)=f4(-1)得：f3(-1)=0

         ∴    A3(x)=f3(y)=(1/4)y｜y｜-(1/4)y

 

······依此类推

 

（二）Ak(x)的三角级数：

（1）A1(x)=(-2/π)∑(n=1…∞)(2n-1)^-1sin(2n-1)πx（x≠整数）

（2）A2m(x)=(-1)^m-1(2/π^2m)∑(n=1…∞)(2n-1)^-2m]cos(2n-1)πx（m=正整数）

（3）A2m+1(x)=(-1)^m-1(2/π^2m+1)∑(n=1…∞)(2n-1)^-2m-1sin(2n-1)πx（m=正整数）