平方法的妙用

1. 解不等式

例1. 解不等式。

解：原不等式等价于

解得 

所以不等式的解集为。

例2. 解不等式。

解：原不等式移项得

两边平方后等价于不等式组

化简得 

第二式两边平方得

所以原不等式的解集为

2. 证明不等式

例3. 已知，求证：。

证明：把原不等式移项，得两边都是正数的不等式

要证明原不等式成立，只需证明

，

化简得 ，

两边平方，得 ，

化简得 

因为0＜2成立，且每一步可逆，

所以原不等式成立。

3. 向量问题

例4. 已知向量a≠e，|e|＝1满足：对任意，恒有，则（ ）

A. a⊥e B. a⊥（a－e）

C. e⊥（a－e） D. （a＋e）⊥（a－e）

解：原不等式两边平方

，

所以 ，

，

所以 

即 ，

所以 

又 

所以 ，选C。

4. 求值域

例5. 求函数的值域。

解：移项得 ，

两边平方得

由①得 ，

所以 

代入②得 

即 

所以 ，

即原函数的值域为 。

5. 三角问题

例6. 若，求的取值范围。

解：设

又 

将上述两个等式两边平方，得

两式相加，得 

所以 

即 ，

解得 

所以 

所以 

6. 求曲线的方程

例7. 已知一条曲线，它上面的每一点到点A（0，2）的距离与到x轴的距离的差都是2，求这一曲线的方程。

解：设动点为M（x，y），到x轴的距离为|y|，

由题意有 

即

移项得 

两边平方得 ，

化简得 （*）

当时，（*）可化为；

当时，（*）可化为x＝0

所以曲线的方程为

平方运算是基本的运算之一，由于它的特殊性，解题中常会用到两边平方，若是不等式应确保两边都是非负数，两边平方后不等式号不变；若是等式，要注意等式中的隐含条件，平方后保持等价性。