【原】函数图像的交点问题

1、指数函数y=a^x与对数函数y=log_bx的图像有几个交点？其中，a≠b。

2、最好能提供两底数a与b的关系坐标图。其中，a为横坐标、b为纵坐标。

________探究：y=a^x与y=log_bx（定义域：x＞0）

1、(a-1)(b-1)＜0的情况：

   设y=a^x-log_bx（值域：(-∞ ,+∞)）

    y′=a^xlna-1/(xlnc)≠ 0，即函数图像只有一个交点。

 2、(a、b)＞1的情况：

（1）设y=a^x与y=log_cx相切(外切)，

           y=a^x=log_cx=lnx/lnc

           y′=a^xlna=1/(xlnc)

（2）由此得出a与c的关系方程(切点方程)：

①   xlnxlna=1

②    c=x^{a^(-x)}

③   lnxlny=1  

（3）因为x=c^y=log_ay=lny/lna，即x与y、a与c可以同时互换，所以a—c曲线关于a=c对称，是类似双曲线的一支，顶点(e^1/e,e^1/e)，渐近线a=1、c=1。

（4）切点方程的对称形式：（参数方程）

        lna=(1/λ)e^-λ

        lnc=λe^-1/λ

        λ=lnx=1/lny   （λ＞0）

（5）函数图像交点数：

①  b＞c：函数图像相离，无交点；

②  b=c：函数图像相切(外切)，一个交点(外切点)；

③  1＜b＜c：函数图像相交，两个交点。

 

3、0＜(a、b)＜1的情况：

（1）用观察法来看，函数图像貌似只有一个交点。其实不然，但至少有一个交点是肯定的。

（2）当e^-e＜a＜1或e^-e＜b＜1时，切点方程无解，即函数图像无切点。

（3）切点方程是类似水滴线(λ＜0)，前钝点(0,0)，后尖点(e^-e,e^-e)。

（4）函数图像交点数：

①前钝点：函数无定义。

②后尖点：函数图像一个交点(交切点)。

③水滴线上：函数图像两个交点(1内切点+1交点)。

④水滴线内：函数图像三个交点。

⑤水滴线外：函数图像一个交点。

4、综合以上三种情况，再推广到a=1或c=1的情况：函数图像一个交点。故a—c图可称为(321,210)图，简称3120图。

5、交点方程的对数化：

交点方程：y=a^x=log_bx（x＞0）

分两种情况取对数：

（1）b＞1：（x＞1）

        lny=xlna=lnlnx-lnlnb

令 z=lny+lnlnb=xlna+lnlnb=lnlnx

由此转化为定曲线①与动直线②的交点问题：

①  z=lnlnx

②  z=xlna+lnlnb 

（2）0＜b＜1：（0＜x＜1）

        lny=xlna=ln(-lnx)-ln(-lnb)

令 z=lny+ln(-lnb)=xlna+ln(-lnb)=ln(-lnx)  

由此转化为定曲线③与动直线④的交点问题：

 ③ z=ln(-lnx)

 ④ z=xlna+ln(-lnb) 

（3）交点方程对数化的意义在于使交点问题直观化，切点方程不会改变。