九年级数学几何图形中的折叠问题

折叠问题中的背景图形通常有，三角形、正方形、矩形、梯形等 ，解决这类问题的关键是一定要灵活运用轴对称和背景图形的性质。

轴对称性质：

折线是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。

典型例题：

例题1、如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=10，AC=8，E、F 分别为 AB、BC 上的点，沿线段 EF 将 ∠B 折叠，使点 B 恰好落在 AC 上的点 D 处，试问当 △ADE 恰好为直角三角形时，此时 BE 的长度为多少？

解题思路：

△ADE 为直角三角形分两种情况：①∠ADE = 90°，②∠AED = 90°，此题需要分类讨论，结合三角形的相似、折叠的性质，来求折叠中线段的长度，关键是能画出折叠后的图形。

解答过程：

当 ∠ADE = 90°时，如下图所示：

证明：

先来证明四边形 DEBF 为棱形：

∵ 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠ADE = 90° ，

∴ DE∥BC ，

∴ ∠DEF = ∠EFB ，

又∵ 沿线段 EF 将 ∠B 折叠 ，

∴ DE = BE ,DF = BF ，∠DFE = ∠BFE ，

∴ ∠DEF = ∠DFE ，DE = DF = BF ，

∴ 四边形 DEBF 为棱形 。

（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是棱形）。

再来证明 Rt△ADE ∽ Rt△ACB （相似三角形判断图形中的“A”字型）

∵ 在三角形 ACB 中 ，DE∥BC ，

∴ Rt△ADE ∽ Rt△ACB ，

设 棱形 DEBF 的边长为 x , 则有 DE = x , AE = 10 - x ,

在 Rt△ACB 中，AB = 10 , AC = 8 ,

由勾股定理得：BC = 6 。

∴ DE : BC = AE : AB , 即 x : 6 = (10-x) : 10 ,

解得 x = 15/4 ,

∴ BE = 15/4 ;

当 ∠AED = 90° 时，如下图所示：

易证 Rt△AED ∽ Rt△ACB ，由折叠的性质可得 DE = BE ，

设 DE = BE = x ，则 AE = 10 - x ，

由相似三角形的性质可得：

DE : BC = AE : AC , 即 x : 6 = ( 10 -x ) : 8 ,

解得 x = 30/7，

∴ BE = 30/7 。

例题2、如图1，将一张矩形纸片 ABCD 沿着对角线 BD 向上折叠，顶点 C 落到点 E 处，BE 交 AD 于点 F .

(1) 求证：△BDF 是等腰三角形；

(2) 如图 2 ，过点 D 作 DG∥BE ，交 BC 于点 G ，连接 FG 交 BD 于点 O 。

① 判断四边形 BFDG 的形状，并说明理由；

② 若 AB = 6 , AD = 8 ， 求 FG 的长 。

解题思路：

（1）根据两直线平行内错角相等及折叠特性判断；

（2）① 根据已知矩形性质及第一问证得邻边相等判断；

② 根据折叠特性设未知边，构造勾股定理列方程求解。

参考答案：