中考数学压轴题进阶训练——一元二次方程的特殊根

【解题策略】

1、一元二次方程的有理根

关于x的一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为有理数）存在有理根的条件为：b²－4ac是一个有理数的平方。解决一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为有理数）的有理根问题时，一般的解题策略有：

（1）利用“判别式的取值范围”解题

①讨论二次项系数的情况，当a≠0时，求出判别式；

②根据已知条件得待定系数的取值范围，再求出判别式的取值范围，筛选出其中为有理数的平方的数；

③求出待定系数的可能取值，并检验．

（2）利用“判别式是一个有理数的平方”解题

①讨论二次项系数的情况，当a≠0时，将方程的系数整数化，求出判别式；

②将判别式写成△＝M²－t的形式（M为关于待定系数的整式，t为整数），设M²－t＝m²（m为非负有理数）

③可得（Ｍ＋m）（Ｍ－ｍ）＝t，解此不定方程；

④求出待定系数的可能取值，并检验．

2、一元二次方程的整数根

对于一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为有理数）而言，方程的根为整数且必为有理数，所以有理根存在的条件是整数根存在的必要条件．

解决方程ax²＋bx＋c＝0的整数根问题，除了利用“判别式的取值范围”和“判别式是一个有理数的平方”来解题外，还可以利用“根与系数的关系”和“因式分解”来解决问题．

（1）利用“根与系数的关系”解题

①讨论二次项系数的情况，当a≠0时，利用根与系数的关系求出两根的和与积；

②将两根的和与积的代数式写成一个整式与一个分式的和的形式（类似于分离常量）；

③由分式的结果一定为整数，

根据整除的性质得到分式的分母一定是分子的约数，从而求出待定系数的可能取值；

（2）利用“因式分解”解题

①讨论二次项系数的情况，当a≠0时，将方程化为（m1x＋n1）（m2x＋n2）＝0的形式；

②求出方程的两根，x1和x2；

③利用分离常量的方法，将x1和x2的值变成一个常数与一个分式的和；

④根据整除的性质，得到分式的分母一定是分子的约数，从而求出待定系数的可能取值；

⑤将待定系数的可能取值代入原方程检验并确定结果．

需要注意的是，要看清楚题中说的是方程有整数根还是方程的根为整数．

3．分离常量

在利用“根与系数的关系”解题和利用“因式分解”解题的过程中都提到了分离常量，所谓分离常量就是从分式中化出一个常数，例如：