  2018年元旦，笔者自费来到南京参加了纪鹏成老师组织的“名师讲堂”初中数学解题教学研讨会，由于只有元旦一天可以自我支配，所以当晚又匆匆返回了上海。然而当日，于特和黄特精彩的讲座内容始终萦绕心头，时值寒假，再次打开一个月前的笔记，写下两篇“印象”…… （声明：本文为笔者听讲座后的感悟，然笔者水平有限，并不能完全代表讲座教师真实叙述） 于新华 江苏省数学特级教师 于特讲座软糯可心，娓娓道来，时而感觉这就是自己解题的本心，又忽觉高于自己本意，他的解题思想我个人认为可概括为是一个“定”字！数学解题的本质“在于变化中发现不变，抓的就是确定元素”。简单的问题一次图形运动即可确定，复杂的点确定常运用的策略是交轨，于是探寻动点运动的轨迹就成了于特关注的重点。 01 从全局入手，考虑图形如何确定？ 例1 如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，将矩形ABCD绕着点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，则CE的长是____  草根感悟 ① 点E是点C绕着点B顺时针旋转确定，其旋转角是∠CBE！ ② 由于图形旋转过程中旋转角大小不变，所以∠CBE=∠ABG， ∠ABG是定角(Sin∠ABG=3/5)； ③ 对于△BCE，BC=BE=3，Sin∠CBE=3/5，两边一夹角，△BCE已定！ （答案：3√10/5） 从全局出发，如果能明确某些点线形成的过程，相关元素也就确定下来了，相关量一定可求，局部只是需要进一步探索怎么求而已！ 例2 如图，A（4,0）,C（0,-2√3），△ABC是等边三角形，点B在第四象限，求点B坐标  草根感悟 如何界定点B形成过程就决定了求点B的不同策略 ① 点B到点A、点C的距离皆为2√7 解题策略： 设点B坐标(x,y)，解二元二次方程组：  注：对结果须进行取舍 ② 取AC的中点D，将点A绕点D顺时针旋转90°，并扩大√3倍形成点B 解题策略： 过点D做x轴的垂线进而构造三垂直型，形成一组相似比为1:√3的相似三角形，如图所示，不难得到B（5，-3√3） 注：于特称这种基本图形为“k字形”，马老称这种辅助线的添加方法为“横平竖直”  例3  草根感悟 对于有些图形而言一次图形运动即可确定，但有些较复杂的点，一次图形运动可能就不够了，需要用'交规'的思想去理解。笔者想，这也就是于特非常看重挖掘图形轨迹的原因：从变化中寻求不变的规律，通过“交规”确定特殊点。 本例中点C显然在反比例双曲线上，但仅此无法确定点C的位置！对此，于特给出了一个神奇的解释：点C还在将x轴绕点A逆时针旋转60°的直线上！  点B在x轴上，那么点B的轨迹就可以看成x轴；点C由点B绕点A逆时针旋转60°确定，若将每个点B（点B的轨迹是x轴）都绕点A逆时针旋转60°，自然可视为x轴绕点A逆时针旋转60°了，也就是说点C的轨迹就是将x轴绕点A逆时针旋转60°所形成的直线！ 最后一个问题就是如何求直线BC的解析式，也就是如何找到旋转后直线上的两个点，此刻就应该从特殊点入手，比如原点（0,0）通过旋转到了（4.5,3√3/2）、（-3,0）通过旋转到了（3,0），于是可求出其解析式为：y=√3x-3√3 列方程组（如下）并对解进行取舍即可   阶段小结  02 从局部入手，熟悉确定的基本模型 以三角比12345模型为例 模型简述 在Rt△ABC中， ∠C=90°, AC=BC 点D是BC中点 可知： tan∠CAD=1/2 tan∠DAH=1/3 结论: 1/2+1/3=1 注：'1/2'指的是正切值为1/2的锐角；'1/3'指的是正切值为1/3的锐角；'1'指的是正切值为1的锐角即45° 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC:BC=4:3，延长CA至点D，使得AB=AD，可知∠CAB=2∠D，tanD=1/3 结论：3/4的半角正切1/3 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC:BC=4:3， 延长CB至点D，使得AB=AD， 可知： ∠CBA=2∠D tanD=1/2 结论： 4/3的半角正切1/2 在△ABC中，AB=AC，AB:BC=5:8，可知∠CAH=2∠B，tan∠CAH=24/7， 结论：3/4的倍角正切24/7 在△ABC中，AB=AC，AB:BC=5:6， 可知∠CAH=180°-2∠B，tan∠CAH=24/7， 结论：4/3的倍角补角正切24/7 阶段小结 笔者根据于特讲座改进版12345规律图 （笔者观点：） 这样的教学是否有悖相关教学准则？笔者是这样看的！ 有用！实践是检验真理的标准，掌握这些规律后对于处理很多相关问题便捷很多，就拿刚刚过去的上海市一模数学考第24题而言，16个区县试卷可用此规律的试卷达一半8张（笔者后续会详细推文叙述）！ 不是存粹记忆！每个规律的背后是基本图形，每个规律都是需要学生自己推导、并通过不断实践自己感悟得出，继而对于反复使用的基本“模块”学生能立刻反应出其一般性质，不必每次都推到重来，又有何错？ 错在于有教师不懂教学规律，强行让学生记忆，缺乏学生体验过程！ 错在于有学生不懂书写逻辑，只求答案不求过程直接使用造成跳步！ 注：元旦讲座中，于特还提到“条件用尽题目自然解出”、“用平行线传递比例线段”等印象深刻的观点，在此就不一一叙述了。 笔者仅听于特讲座两次，对其解题思想理解还浅薄，已购买于特相关书籍继续学习，学百家之长，使自己学生受益，是笔者小草根的心愿。 吉吉初中数学小站 初中数学微课程 |
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