详细剖析2018中考真题，关于二次函数存在性的压轴题

二次函数与三角形、四边形、圆和相似三角形常常综合在一起运用，解决这类问题需要用到数形结合思想，把“数”与“形”结合起来，互相渗透。存在探索性问题是指在给定条件下，判断某种数学现象是否存在、某个结论是否出现问题。解决这类问题的一般思路是先假设结论的某一方面存在，然后在这个假设下进行演绎推理，若若推出矛盾，即可否定假设；若推出合理结论，则可肯定假设。

真题解析：

（2018广西省桂林市，26，12分）如图，已知抛物线y=ax²+bx+6（a≠0）与x轴交于点A（－3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C.

(1)求抛物线y的函数表达式及点C的坐标；

(2)点M为坐标平面内一点，若MA＝MB＝MC，求点M的坐标；

(3)在抛物线上是否存在点E，使4tan∠ABE＝11tan∠ACB?若存在 ，求出满足条件的所有E点的坐标；若不存在，请说明理由.

【思路分析】

（1）将点A（－3，0）和点B（1，0）分别代入y=ax²+bx+6即可求出抛物线的解析式及点C的坐标；

（2）如图（1），分别作线段AB、AC的垂直平分线，相交于点M，则点M可使MA＝MB＝MC，根据点A和点C的坐标可求出点D的坐标，根据互相垂直的两条直线的k值乘积为－1，则可求出线段AC的垂直平分线DE的关系式，从而得出点M的坐标；

（3）过点B作BG⊥AC于点G，过点E作EF⊥y轴于点F，先求出直线BG的关系式，即可得到点G的坐标，求得tan∠ABE的值，再根据4tan∠ABE＝11tan∠ACB 解得EF＝2 BF,即可求出点E的坐标．

【以下详细解答过程】

【知识点】二次函数关系式；顶点式；一次函数；两点间距离公式；勾股定理；解一元二次方程；解一元一次方程；二次根式的化简。