杂谈 · 数轴

63920180911作品《杂谈 · 数轴》

（秦中 朱校华 原创）

数轴是数学数形结合思想的载体之一.

七年级（上）第一章《有理数》中，刚刚接触数轴，主要掌握些什么是本章第一个重点知识，也是学生容易犯错的第一闹处.请看学生作业： 

    一、数轴是啥模型？

教科书为了体现数学的广泛应用性.提出一个有关在同一天笔直公路旁有五件东西：电线杆、槐树、汽车站牌、柳树、杨树，结合距离与方向两大方面要求画出符合题意的情境图.

东、西两个方向可以分别使用正数、负数来解决，距离可以使用多少个单位长度来搞定，笔直的公路可以形象地看成是一条直线.

于是具有一定属性的一条直线模型就是数轴的绉型.

以汽车站牌选定为基准点，是数轴之原点的“祖宗”；

结合地理学上“左西右东”之惯例，选取水平向右（即东）为正方向；

显然原点左侧为负方向，左右两侧的单位长度肯定是一致的.

数轴定义就是：

规定了原点、正方向与单位长度的直线叫做数轴.

要点理解就是：

（1）数轴是一条具有特殊属性的直线；

（2）数轴三个要素是原点、正方向与单位长度（也说成是三大属性）.

    按照教科书的设计流程，接下来的学习任务是要学会画数轴.

    二、数轴如何画出？

依据数轴第一要点：数轴是一条直线.

说明画数轴必须使用（1）直尺或三角板，为保证画的直线足够长（或够用），画图一定要（2）使用铅笔画图，因为可以续长或擦掉重新画过.

这是初中数学第一条规定：画图一定要使用铅笔，画直线用尺子.

切记不可以徒手画直线，那样是不标准的，甚至是应付了事.

数轴的第二要点告诉我们要有三要素：原定、正方向与单位长度.

定原点，可以随机，到了后续熟练后可以有选择性；

标正方向（右箭头），不可缺少.此处必须注意：数轴在初中数学中只有两种不同的位置存在：一种是水平位置的，此时取向右为正方向；一种是铅直位置的（垂直于水平面的直线就是铅直线），此时取向上为正方向.这是一种约定.

单位长度，要求左右一致；建议学生作业常常使用0.5㎝为一个单位长度较妥，也就是使用刻度尺上的刻度；当然也可以使用圆规去截取之.

综合起来师生共同推出如下“顺口溜”：

一画二定三取向，

四截等长数成样.

简言之就是：

一画：第一步是画出一条直线；

二定：第二步找一个点作为原点；

三取向：第三步就是画出正方向的箭头（向右或向上）；

四截等长：第四步就是在原点的左、右（或下、上）截取相同的长度作为单位长度.

数成样：指的是最后一步“收官”，在说截取的标记点下（或右）标上对应的整数数据（初学者不可偷懒，往后熟练可简略）.

画数轴时，边默念顺口溜边画图可以尽量减少差错.

    所谓熟能生巧，做些必须的数学作业题是可以加深印象的. 

    三、数轴有何妙用？

任何一个有理数均可以在数轴上表示出来.整数比较直观，于是分数或者无限循环小数不妨使用近似值去表示会容易些.师生互动后之“约定”：

在数轴上原题需要表示的数“统一”写在数轴（水平位置）的上方（铅直位置的原题要表示的数常写在数轴的左侧）；

遇上相互接近的两个有理数表示时可以使用带箭头的曲线标引注解出去，省的相互之间因“拥堵”而造成不必要的误解.

反过来，在数轴上的点对应的数（有的数学专著说成是点在数轴上的坐标）有时仅仅是近似数值而已（做个准确些的估计即可）.

这是数学教科书要去掌握的第一个妙用，书上还有相应的练习与习题.

数轴的第二个妙用是：标记在数轴上的点对应的数的正负号可以直观地从数轴上看得出来. 对于水平位置的数轴来说，原点左侧的都是负数，原点右侧的都是正数，原点对应的就是零，非正非负；对于铅直位置的数轴，原点下段的都是负数，原点上段的都是正数，原点对应的是零.反过来来讲也对.

比方说：a＜0，表示a是一个负数，在水平位置的数轴上表示的点就在原点的左侧，实际作业或考试时，就会立马想到不会标在数轴原点的右侧.

像这种看到数轴上的点的位置，就能确定该点对应的数到底是正数还是负数的技能其实质就是数学数形结合思想的基本体现之一，后续用得较多. 

一个有理数在数轴上表示出来之后，我们可以非常直观地看出这个数对应的点离开原点的距离是多少，这其实就是第三个妙用. 这就涉及到数轴上“两点间的距离”问题了，后头学习了绝对值就能更加完美了.

为了激趣，特推出如下四道考题给学生们思考.

考题一：在数轴上离开原点距离是3的点，其对应的数是？

考题二：在数轴上离开数3所表示的点的距离是4的点，其对应的数是？

考题三：在数轴上数3表示的点，移动5个长度单位后，可以得到的点对应的数是？

考题四：在数轴上数3与-7之间的距离是？数3与数m之间的距离是？

不怕问题烦，就怕不懂意；数形相结合，成绩定及格.

未完待续！