题目看不出关键？图形得不到思路？运用图形分析法便一目了然

例36 如图5-118，已知：△ABC中，AD是中线，G是AD上的一点，且GD=1/3·AD，BG、CG的延长线交AC、AB于E、F。求证：AE=CE，AF=BF。

图5-118

分析：本题条件中给出了GD=1/3·AD，也就是GD=1/2·AG，这是两条线段之间的倍半关系，所以可根据线段倍半关系的定义，作出半线段的两倍，也就是延长GD到H，使DH=GD（如图5-119），那就有GH=AG。

图5-119

而在作出了DH=DG后，由于条件中还给出BD=CD，且BC和AH在D点相交，从而就出现了这两组相等线段都是位于一组对顶角的两边，且成一直线，所以可添加中心对称型全等三角形进行证明。添加的方法是将这四个端点两两联结起来，并可得这两条连线必定是平行线，于是联结CH，这样在△BGD和△CHD中，就有BD=CD，∠BDG=∠CDH，GD=HD，所以△BGD≌△CHD（如图5-120），∠GBD=∠HCD，BG∥HC。那么在△AHC中，由AG=HG和GE∥HC，就可证得AE=CE。根据同样的道理，联结BH后，也可以证明AF=BF。

图5-120

本题在根据线段倍半关系的定义开始进行分析时，也可以将倍线段两等分，也就是取AG的中点H后，可得HG=DG。但在出现了这两条线段相等的关系后，由于HD和BE相交于G，所以这两条相等线段就位于一组对顶角的两边且成一直线，从而就可添加中心对称型全等三角形进行证明，添加的方法是过两条相等线段的端点作平行线。于是过H作BD的平行线交BE的延长线于M，即可根据∠BGD=∠MGH，DG=HG和∠BDG=∠MHG，证得△BGD≌△MGH（如图5-121），MH=BD=CD。

图5-121

但在作出HM∥DC后，在△ADC中就出现了三角形内一条边的平行线段，从而可应用平行线型相似三角形进行证明。于是设HM交AC于N，就可得△AHN∽△ADC，AN/AC=HN/DC= AH/AD=1/3。而HM=DC，所以NM/DC=2/3，而DC=1/2·BC，这样又可得NM/BC=1/3。由NM∥BC又可得△NME∽△CBE，EN/EC=NM/CB=1/3。也就是EN/CN=1/4，AN/CN=1/2，从而可证明EN：AN：CE=1：2：3，所以分析可以完成。

本题在过AG的中点H作BC的平行线交AC于N，交BE的延长线于M后，可得MH=BD，HN/DC=1/3，MN/BC=1/3，EN/EC=1/3。接下来由于要证E是AC的中点，而已作H是AG的中点，出现了多个中点问题，所以可应用三角形中位线的基本图形的性质进行证明。由于E、H所在的线段AC、AG具有公共端点A，可以组成三角形，所以HE这两个中点的连线就是三角形的中位线，现在图形中是有三角形而没有中位线，所以应将中位线添上，于是联结HE，问题就成为要证HE∥GC。又因为G是DH的中点，所以GC也成为过中点的平行线，从而GC也可以取作中位线，于是将三角形添完整，也就是延长HE交BC的延长线于K（如图5-122），那么证HE∥GC的问题就转化成要证DC=CK，但已证MH/BC=1/2，而由HM∥BK，又可证△MHE∽△BKE，MH/BK=ME/BE=NE/CE=1/3，所以DC=CK可以证明。

图5-122