射影几何入门（连载六）

imelee 2018-09-29

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1. P与P’共轭 2. P’极线为T1-T2 3. AB调和分割P’P

图 95

图95-1是一个圆心为O半径为r的圆，P是圆内一点，P’是圆外一点，OPP’位于同一直线上，如果PP’ 两点的位置满足关系：OP.OP’= r²，则称P与P’关于圆互为共轭点。

如果P与P’共轭，则P是通过P’的两切线切点的弦的中点。

［证明］设P, P’共轭。通过P作OPP’垂线，交圆于T，连OT与TP’。因△TOP'与△POT共角，且由OP.OP’ = r²，知OP’/ r = r/OP.，故相似；因∠OPT为直角，故∠OTP'也是直角，即TP'为圆的切线。同样可证TP向上也与圆交于一切点。

利用以上性质，我们从圆外点P'可以找它的圆内共轭点P，且由圆内点P也可以找到它的圆外共轭点P’。

通过共轭点P并垂直于OP'的直线PT就叫点P’关于圆的极线。由上可知，圆外点P’的极线可以从Ｐ’作圆的两条切线P’T₁与P’T₂，再连接两切线的切点T₁T₂得到，见图95-2。

现设点P是极线ｐ上任意点（即把极线p看作由P点形成的轨迹），见图95-3。A,B是P’P 连线与圆的两个交点，则P’,P 被A,B 调和分割，也就是BP∙AP' =-BP’ ∙AP.（参看§44）。

［证明］连PO，交圆与C，交极线p于D，作OM⊥AB,则

MP∙MP’=MP’ ∙(MP’-PP’)=MP’ ∙MP’-MP’ ∙PP’。

又在OMPD中，∠M=∠D=90度，故OMPD为圆内接四边形，P’M与P’O是圆的两割线，故MP∙PP’=OD∙OP’，代入上式：

MP∙MP’=MP’ ∙MP’-OD∙OP’

= MP’ ∙MP’- (OP’-DP’) ∙OP’

= MP’ ∙MP’-OP’ ∙OP’+DP’ ∙OP’

= -OM’ ∙OM’+OC∙OC

= -OM’ ∙OM’+OA∙OA = MA∙MA

由此

MP∙MP’ = MA∙MA，

2MP∙MP’ = 2MA∙MA，

MP∙MP’ - MA∙MA = MA∙MA- MP∙MP’，

等式两边各加MP∙MA – MP’ ∙MA，化简可得

(MA+MP)∙(MA-MP’)=- (MA+MP’)∙(MA-MP)

考虑到M是AB中点，MA=MB，上式即为要证的等式：

BP∙AP’ =-BP’∙AP。

直线p的极点就是圆心O到p的垂线的垂足的共轭点。极点和极线的关系为互相可逆，如果P是p的极点，则p是P的极线。而且反之也对，如果p是P的极线，则P是p的极点。

现设任意两点P, Q的极线分别为p, q，且Ｐ在Ｑ的极线ｑ上，如图95-5所示，则OP∙OP’= r²，OQ∙OQ’= r² ，故由割线定理知，PP’QQ’是圆内接四边形，因∠PP’Q为直角，故∠PQ’Q也是直角，q=PQ'垂直于OP，即q是Q的极线。由此得到：

设P在Q的极线上，则Q也在P的极线上；或对偶地：设p通过q的极点，则q也通过p的极点。

96.圆锥曲线的内点的共轭点的轨迹

上面我们讨论了有关圆的极点极线概念。下面将用更简单的纯几何法来快速引出一般圆锥曲线的极点极线概念。

我们将要利用§76介绍的Pascal定理的一个特例：

如果一四边形内接于一个圆锥曲线，则四边形的二组对边的两个交点与两组对顶点的切线的两个交点四点共线。

参看图96-1。设O是圆锥曲线内一点，过O任意作两条直线，交曲线于KMLN，根据§26，利用完全四边形KLMN可得共线的四点A,B,C,D。而由§29知，此四点共轭。下面证明：直线ABCD由O点位置确定，与直线KM、LN的作法无关。

［证明］在K和M两点作切线，设交于P；在L和N作两切线交于Q。根据§76，P，Q均在直线AC上，即与ABCD共线，即ABCDPQ六点共线。但从图可看出，D和Q点只与直线LN有关，与KM完全无关，所以我们将KM换成任意的K’M’，只要K’M’通过O，则形成的ABCP四点仍与DQ共线。这说明，这条线不随KM改变而改变。同理，我们将KM固定，这时PB两点固定，不管LN怎样变，形成的ACDQ与PB六点共线。由此证明这条6点所在直线完全取决于O。与KM，LN取法都无关。

这条被O点位置完全确定的直线具有下列性质：

过O画任意直线，与圆锥曲线交于K和M，与O的极线交于B，则B、O、M、K为四调和共轭点。

图96-1直线AB由圆锥曲线内点O的位置确定

［证明］因BOMK与ABCD为透视对应，中心为N，对应方式是A与M对应，C与K对应，D与O对应，B为自对应。而ABCD是调和共轭的，故根据§31知BOMK四点也调和共轭。

97.更多的性质

因圆锥曲线在L和N的切线也交于此直线上，我们进一步可把此直线看作通过O的弦的两个端点处的切线的交点的轨迹。

98.极点极线的定义

这条由 O确定的重要直线，就称点O关于圆锥曲线的极线（polar）。点O称为此直线关于圆锥曲线的极点（pole）。

99.极点与极线的基本定理

前面已证，如果点B在O的极线上，则B是点O关于圆锥曲线与直线BO的两个交点K和M的调和共轭。但由于调和共轭的对称性，O也在B的极线上。故有如下基本定理：

如果一个点位于另一个点的极线上，则第二点也位于第一点的极线上。

100.共轭点与共轭直线

上述BO两点称为关于圆锥曲线的一对共轭点。类似地，我们称两根直线关于圆锥曲线相互共轭，如果其中任意一条线通过另一条的极点。

101. 已知点的极线作法

设已知点为P。如P在圆锥曲线内（即不能从P作圆锥曲线的切线），P的极线的作法如下（参看下面的图101-1）：

图101-1：极点P在曲线内图101-2：极点P在曲线外

过 P作任意两条直线作为圆锥曲线的弦；以每一条弦的两个端点作切线，求出切线的交点；把两条弦对应的两个切线交点连接起来。所得连线就是与P对应的极线p。

如果点P是在圆锥曲线外面，我们前面已经介绍过，可以这样作P的极线（参看图101-2）：

过 P作圆锥曲线的两条切线；分别作出两条切线各自的切点T1, T2；把两个切点T1, T2连接起来。所得的连线p就是P点对应的极线。

102.自配极三角形

在下图（它就是图96-1）中，可以证明三角形AOC每个顶点是其对边的极点。即：O点是AC边的极点，A点是OC边的极点，C点是AO边的极点。AOC叫自配极三角形。

［证明］考虑到直线AC就是直线PQ，根据前面§101的讨论，O是AC的极点（或AC是O的极线）。所以，我们只需证明其他两个对边的关系。

因B, M, O, K四调和点，它们向C投射形成四调和射线CB, C M, CO, CK。因此，直线CO与直线AMN交于A的极线上的一点，使A被M, N调和分割。同样，直线CO与KL交于A的极线上的一点，由此CO就是A的极线，A是CO的极点。

类似地可证AO是C的极线，或C是AO的极点。

这种每个顶点是其对边的极点的三角形称自配极三角形。

图102-1 自配极三角形AOC每个顶点是其对边的极点

103.　射影相关的极点与极线

另一个非常重要定理直接来自图96-1。

当点A沿着一条直线移动时，A的关于圆锥曲线的极线将绕一个固定点旋转，并描绘出一个和点列A射影相关的线束。

［证明］把点L和N固定，让点A沿直线AQ移动。则点列A投影到（以L为中心的）线束LK。而当K沿圆锥曲线移动，（以L为中心的）线束LK投影到（以 N为中心的）线束NK，而后者又（以 N为中心的）投影到(以AC为底的)点列C，而它最终投影到（以O为中心的）线束OC。根据射影关系的传递性，线束OC和点列A射影相关。

104.对偶性

从极点和极线的关系中，我们利用了直线点列与线束之间建立1-1对应的一种方法，这就是射影对应。在射影对应下，四调和点、四调和线分别对应于四调和线、四调和点；每个由点和线组成的图形将对应到一个由线和点组成成图形；作为圆锥曲线的点的轨迹的二阶点列，对应到把圆锥曲线看作线的轨迹的二阶射线束。对偶（duality）这一术语就是用于描述这种类型的对应关系的。这里要重点注意的是，对偶关系和1-1对应关系一样，是要受到与1-1对应同样的例外限制。在1-1对应不能应用的场合，对偶关系也无法应用。欧氏几何中，我们看到，在一线束中只有一条射线无法和点列中的点建立透视对应，即平行与点列的那条直线。因此，任何明显包含无穷远点的定理，不能翻译成为关于直线的一个定理。另外，在线束中，二条射线之间的角度不能在与它对应的点列中找到对应，因此，任何涉及角度的定理也不能翻译成一个与其对偶的定理。这样我们就可以看到，直线上无穷远点的概念蕴含了把直线段等分为任意段的概念，换句话说，蕴含了度量的概念。因此，如果我们需要任何用到无穷远直线的定理，或和测量角度有关的度量定理，或任何其他种类的投影定理，我们可以假定：

任何射影定理蕴含了另一个与其对偶的定理，且后一定理可以通过互换前一定理中出现的单字‘点’和‘直线’来获得。

105.自对偶定理

考察本章前面的定理你将发现，它们是自对偶的。也就是说，把前一节介绍的过程应用到这些定理，不能产生出新的定理。把由Brianchon定理引出的关于外切四边形的一些定理看成新的结果是无意义的，因为Brianchon定理本身就是Pascal定理的对偶，事实上，它原先就是从Pascal定理的对偶化中找到的。

106.其他对应关系

在前面讨论中我们大量地使用了射影相关这种1-1对应，但不能由此得出1-1对应不能用来讨论任何的度量关系。事实上，我们能够创造一些1-1对应来很好控制某些度量关系。一个非常重要的例子是有关夹角不变的讨论。一种称做相似性（similarity）的对应关系能使对应线段之长度比率保持不变。但这一性质仅适用于被考虑的特殊1-1对应。