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向你介绍我是谁 大家好，我是一课研究第13组成员徐丹，来自杭州市文澜小学。很高兴与您在此相遇。  本期内容有哪些 听一听：《如何培养学生的数感》 读一读： 利用资源关注数感 精心设计增强素养 找一找： 与众不同的数 轻轻松松听书 听 选自《如何培养学生的数感》，由【英】茱莉亚·安吉莱瑞著，徐文彬译 坚持阅读8分钟 利用资源关注数感 精心设计增强素养 ——培养一年级学生数感的实践与思考 新课程标准指出：数学课程要注重发展学生的十项核心能力，数感是其中之一，排在首位。数感主要是指关于数量、数量关系，运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。数感好的学生，主要表现为在运算中不拘泥于运用计算法则或公式进行计算，而是能够根据数的特征，灵活地选取计算策略来计算。 老师们对数感一词并不是陌生，但对数感的培养上存在认识上的缺失。其一，认为数感培养是某些课的教学目标。老师们往往在《大数的认识》、《估算》、《简便计算》等内容中，才会将培养学生的数感作为一个教学目标。这些课确实与数感密切相关，教材在中高段安排这样的内容，是基于学生在日常的学习中已经形成了一定的数感，可以在这些课中进行运用与发展，而不是在这些课中才去培养学生的数感。其二，重知识技能落实轻数学素养的发展。数感培养与数与计算领域的内容密切相关，一年级教材数与计算的内容占了总课时的一半以上。老师们在这些内容的教学中往往比较重视知识与技能的落实，忽视学生数学素养的提升。譬如学生计算正确率低，老师一般会认为是练得少，不仔细等原因，应对的方法就是不断地重复练习，而不是从培养学生数感这一根源上来寻找解决的办法。 郑毓信教授指出，基础教育各阶段的内容应该有所侧重，小学阶段应致力于数感的培养。重视学生数感培养，引导学生通过学习简单的知识技能锻炼思维，积累经验，学会运用所学的知识解决生活中的实际问题，切实提升学生的数学素养。培养学生数感是一个长期积累的过程，学生的数感在入学前已经萌芽，需要老师充分挖掘教学资源，对教材资源进行重组与拓展，精心设计教学环节引导学生的思维，在日常教学中帮助学生建立数感，发展数感，增强数感。 一、 在具体数学情境的数数中建立数感 数是抽象的数学符号，一年级的学生对数的认识依托于具体的情境。比如说数字2，学生头脑中可能会 出现2颗糖果，2枝铅笔，也可能是3个小朋友走掉了1个还剩2个等具体情境与之相对应。一年级学生的思维方式以具体直观的形象思维为主，他们在具体的生活情境中比较容易理解数的含义以及数与数之间的关系。学生认识数的过程离不开数数，数数是一项内涵丰富的数学活动，他可以体现学生对数的顺序，数与数之间关系的理解。数学教学可以在学生原有生活经验的基础上，选择特定的数学情境，让学生在有趣的数数活动中建立数感。 （一） 实物情境图 数学源于生活，生活中的很多情境都值得用数学的眼光进行观察和分析。在数数活动中，选取恰当的生活情境，让学生体会到数数方法的多样性，以及选择合适的数数方法的必要性和简便性。要让学生看到一幅图就能立刻对策略做出恰当的选择，依靠的是对数的直觉反应，即学生的大脑已经能够做出无意识的反应。  上述三幅图都出现在一（上）《11-20以内数的认识》课后练习十七，都是要求学生数出图中物品的数量。图中物品的呈现方式是不一样的，所需要的数数策略也有所不同。学生对数的认识从一位数扩展到了两位数，数变大了，同时还产生了位值的概念。这是让学生初步感受数数策略，建立直觉性数感的好时机。 片段一： 师：老师这里有三幅图，比一比，谁能又快又准确地数出图中物品的数量。 生：学生独立数数，老师巡视观察。 师：说一说每一幅图你是怎么数的？ 生1：第一幅图蜜蜂有点乱，我是1只1只边做记号边数的，一共是14只。 生2：第二幅图拖鞋一双一双地摆，我是2，4，6……这样2个2个地数的，一共是12只。香蕉是5根一柄，我是5，10，15，20这样5个5个数的，一共20根。 生3：第三幅图我是看一包书上面写着10本，旁边还有2本，一个十和2个一合起来就是12本，笔的方法也一样。 师：小朋友们真会观察，数数的方法有很多，可以1个1个数，2个2个数，5个5个数……也可以分别数出几个十和几个一再合起来。根据不同的图选择合适的数数方法，就能数得又快又准确。 同样是数数，不同的情境图可以选择不同的数数方法，教师教学中巧妙地将练习中的几道题进行整合，让学生在对比中做出合理的选择。下次再遇到类似的问题，学生也能够进行举一反三。通过长期的积累，学生头脑中建立了很多数数方法的模型，一遇到类似情况就能做出直觉反应。这是学生数感建立的重要标志。 （二） 变化几何图 数与形是数学的两个最基本的研究对象，数可以使形的表达更精确，形可以使数量关系表达更清晰。在一年级的数学教学中，将抽象的数与几何图形的拼组相结合，学生的数数伴随着空间想象，每个孩子的观察角度有所不同，数数方法也不一样。学生的数数方法都有明显的个体性特征  如图（四），数图中灰色的三角形数量，有的学生是一行一行地往下数，每一行都是前一行的基础上加1个，第四个图形就是1+2+3+4个，有的学生斜着观察，第四个图形就是4+3+2+1个。如图（五），有的学生是从每行和每列的数量变化进行观察的，接下去应该是五行五列，可以5个5个快速数出是25；有的学生是对前后两个图进行重叠式的对比，发现每次都多了一行和一列（行与列有一个重叠），接下去就是16+9=25个。 变化的几何图作为数学情境，学生可以通过观察和对比形的变化来感知数量的变化。让学生认识到数数不一定是几个几个数，也可以遵循一定规律变化着数，数数的方法更多样了。在数数中，学生学会了数学地观察，逐渐建立对数的直觉的，个体性的数感。 二、 在不断联系的运算中发展数感 一年级数学教材遵循从小到大由易到难原则，以10、20、100作为分界点，循序渐进地认识数和学习加减法运算。按照运算的复杂程度，每次都是先学不进位加法和不退位减法，再学进位加法和退位减法。然不论数有多大，加减法运算遵循的都是位值和十进制等数学法则。教材这样安排遵循学生身心发展规律，便于学生循序渐进地掌握运算法则，但是也容易在学生在头脑中将加减法运算割裂成一个个独立的部分，导致学生在计算过程中只会依赖运算法则进行机械的运算，而不能根据数字的特征寻求简便的运算方法，不利于学生数感的发展。因此，教师在教学中要整体把握运算教学的目标，借助体现数量关系的图沟通不同运算之间的关联，通过设计开放性的计算练习建立关联数字组，通过开展发散性的转换训练实现式与式的关联，从而发展学生的数感。 （一）借助直观图建立关系模型 每一种运算都不是孤立存在的，彼此之间存在内在逻辑联系。一年级的数学教学中涉及到的加法和减法之间是互逆关系。在计算20以内退位减法时用想加做减法可以快速地计算出得数，如计算12-9=（），只要想9+（）=12就能算出结果。中年级学的验算经常用加法来检验减法运算是否正确，反之亦可，如想知道325-256=69是否正确，可以计算69+256是否刚好是325。学生一年级刚刚学习加法和减法，有必要在教学中及时沟通加法和减法之间的关系。抽象的内在联系可以借助体现数量关系的直观图来沟通，在学生头脑中建立加减法关系的模型，发展学生的数感。 学生在学习6、7的加减法时学习了“一图四式”（人教版一（上）P42，根据一幅图写出两道加法算式和两道减法算式），在理解“分”与“合”的概念之后，能够借助数学情境理解4个算式表示的意思，感悟加减法在意义上的关联。在此基础上，引入表示数量关系的图，由具体的实物图抽象成用长方形图，引导学生根据图来理解图形与图形以及图形与数之间的关系，在学生头脑中建立加减法关系的图像模型，为运用加减法之间的关系进行运算奠定基础。
片段二: 师：出示6个正方形（图六），涂一涂，将6个正方形分成2部分，你打算涂几个? 生1：涂4个 师：根据学生的回答出示图（七），揭示6可以分成4和2，看图你能写出哪些算式？ 生：4+2=6，2+4=6，6-2=4，6-4=2。 师：图中老师能找到算式中的4和2，6表示什么意思呢？ 生：6是总共有6个正方形。 师：出示图（八），这样可以更清楚地看出6、4、2这三个数之间的关系。 师：出示图（九），现在你还能看出这三个数之间的关系吗？ 生：能 师：出示图（十），你能根据这幅图来写一写算式吗？  学生头脑中有了图（十）这样直观的图像模型，数与数之间的关系一目了然，而数与数之间关系的不同表达式就是加法与减法之间数量关系的转换。学生根本不需要去记加数=和-加数，减数=被减数-差等这些枯燥的表达式就能运用自如。数感在这样的联系中得到发展。 （二）借助开放性式题建立关联数组 20以内退位减法在减法计算教学中占有举足轻重的地位，20以内退位减法的熟练程度直接影响到今后多位数减法的计算正确率。所谓熟能生巧，通过不断地强化训练，计算正确率能够有所提高，但是学生的数感并没有在重复的机械训练中获得发展。在学习20以内退位减法时，教材介绍了三种计算方法，如12-9:个位上2-9不够减，可以采用破十法，直接用10-9=1，再算1+2=3；也可以采用连减法，12-2-7=3；还可以采用想加算减法，想9+（3）=12，那么12-9=3。学生能够理解算理，也能够运用这些算法进行计算，但是这几种算法都需要几个步骤，学生在口算时要想好几个步骤，想达到一定的速度和正确率颇有难度。根据退位减法的算理，设计开放性式题，让学生在填写式题时巩固算法，同时又能关注数字本身的特征，在头脑中建立一些相关联的数字组，在计算中加以运用，从而发展数感。 片段三： 师：出示式题□ -7=□ ，2分钟时间，看谁填出的算式多。 师：同学们都能够有顺序地思考，观察这些算式，你有什么发现？ 生1：被减数一个一个地增加，差也一个一个地增加。 生2：有些是不退位减法，有些是退位减法。 生3：被减数的个位和差都相差3。 师：你知道为什么会相差3吗？ 生4：我想这是破十法中的3，比如11-7，先算10-7=3，再算3+1=4。 图（十一） 其他学生按照这个思路去观察，发现如果用破十法去计算，都会先算10-7=3。 片段四： 师：出示式题二 □ - □=7，2分钟时间，看谁写的算式多。 师：同学们都能够有顺序地思考，观察这些算式，你有什么发现？ 生1：被减数一个一个地增加，减数也一个一个地增加。 生2：被减数的个位比减数小3。 师：你知道为什么会相差3吗？ 生3：比如11-4，我们用连减法，把4分成1和3，11-1=10，10-3=7。 图（十二） 其他学生按照这样的思路去观察，发现减数都可以分成被减数的个位数字和3，这样连减的第二步算的都是10-3=7。  上述两个式题中的已知数都是7，不论7是差还是减数，学生发现计算中都会用到10-7=3或者10-3=7。在有关7的减法中，学生会习惯性地将3与之进行联系，形成一种思维习惯，这便是一种数感。填数练习还可以进一步扩展，如□-□=6与 □-6=□ 学生会发现6与4的密切关系。这样的填数练习，既是对20以内减法的巩固，又能跳出算法本身的桎梏，关注到数字本身，在头脑中建立一组组相关联的数字，如7与3，6与4。在今后更复杂的运算中，将数字的这种关联性进行运用，使得数感在运算中不断发展。 （三） 借助发散性的转换建立式与式的关联 运算教学螺旋上升，学生并不是不断学习新的算法，而是不断地将新的运算转化成已经学过的运算。如一年级100以内进位加法可以转化成20以内进位加法来计算，今后要学的多位数加法可以转换成100以内加法进行计算等等。转换的方式具有多样性，如在计算24+9就有多种转换方法：方法一，先算4+9=13，再算20+13=33；方法二，先算24+6=30，再算30+3=33；方法三，先算29+1=30，再算30+3=33；方法四，24+10=34，34-1=33等。这些算法都将进位加法进行拆分和重组，都是建立在很多已知算式的基础之上进行计算的。开展发散性的转换训练，让学生将一个算式进行多角度的转换，有助于学生建立算式之间的关联，在复杂的计算中灵活选用算法，提高计算的速度和正确率，发展数感。  在不改变运算结果的前提下，学生根据数字之间的关系，不断变换观察角度，将比较复杂的计算转换成简单的心算。转换训练可以一个学生独立完成，训练学生的思维广度；也可以由一个学习小组成员共同完成，分享彼此的成果。在不断求异的转换中，学生对数与数之间的关系有了更敏锐的感觉，并把这种感觉应用于式的运算中，建立式与式的关联。学生的数感在这种训练中不断发展。 三、 在解决实际问题中增强数感 运算与解决问题紧密相连，学生依托具体的情境来理解运算的含义，在解决问题的过程中掌握运算技能。学生并不是先掌握某种运算技能，再到相应的情境中去应用。学生解决一个问题需要经历提取信息，选择算法，得出结论这一基本过程。在这一过程中，理解数的含义，提取数量关系，得出结论需要学生综合运用对数的认识、数的运算以及对数量关系的把握等知识。学生的数感在解决问题中得到体现并增强。 （一）通过理解数的意义来辨别信息 现实生活中的实际问题与数学问题有所不同，最显著的差别就是生活中的问题会有很多相关的信息。这些信息有的对于解决问题是有用的，有的是多余的，需要学生自己去选取有用的信息，提取出信息之间的数量关系，选择合适的算法来解决问题。数感在辨析和选择中得到增强。  上图是人教版一(下)P25的一道题，在小月和小军两个人折小船的情境中，有三个数学信息，分别是一共折了14只纸船，黄色6只，小军折了8只，求小月折了几只？学生首先要明确这三个信息分别表示什么意思，再确定信息之间的数量关系:小军折的小船数量+小月折的纸船数量=14，黄色小船的数量+白色的小船的数量=14。要求小月折了几只，与颜色无关，黄色的有6只这个信息对于解决小月折了几只这个问题是多余的，再根据减法的意义确定算式是14-8。该题也可以用14-6=8来计算出白色小船的数量。整个思考过程，学生不断分析问题中的数和数量关系，数感在分析中增强。 （二）通过厘清数量之间的关系做出判断 现实生活中很多问题并不是要算出一个具体数量，而是需要通过运算来做出判断。在解决问题的过程中，学生需要根据已知信息，一边算一边分析，运算方法可以是多样的，不管采取怎样的方式进行运算和分析，结论始终是一样的。  上图是人教版一(下)P80的一道题，一群小朋友围在桌子旁边分蛋糕，桌子上放着3盘蛋糕，每盘都是6个，一个小朋友说，分给17个小朋友，问：每个小朋友分一块，够吗?图中只出现了11个小朋友，而小朋友说要分给17个小朋友，学生首先需要对人数做出判断。要知道每个小朋友分一块够不够，可以将人数与蛋糕的数量进行比较，根据比较结果做出判断。  学生能够把握将人数和蛋糕数进行比较来做出判断的基本思路，根据个人对题目中3个6，18，17这几个数的特征的把握，综合运用加法、减法以及比较数的大小等来表示自己的想法，并依据计算结果做出判断。正确的计算是做出正确判断的前提，但也可能计算正确，在判断时没有理清数量之间的关系而做出错误的判断，如上图最后一个学生最后的结论是错误的。数感在结论的判断中得到增强。 数感培养是一个长期积累的过程，需要老师在日常教学中深入研读教材，挖掘教材资源在课堂上进行不断的渗透；整体把握教材的螺旋上升，在课堂教学中做好孕伏和联系；重视解决问题策略的多样性，鼓励学生灵活和创造性地解决问题。在潜移默化中，学生的数感得到发展和增强，数学素养得到提升。 找一找 与众不同的数 在2、4、6、7、8、10这6个数中，哪一个数字与众不同？ 2与众不同， 因为只有它既是质数又是合数。 4与众不同， 因为只有它是唯一的完全平方数。 6与众不同， 因为只有它是一个完美数。 7与众不同， 因为只有它是奇数。 8与众不同， 因为只有它是一个立方数。 10与众不同，因为只有它是两位数。 只要我们拓宽思路，每一个数都是与众不同的。 你若盛开 蝴蝶自来 |
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