「初中数学」圆知识第二部分的经典题（直线与圆相切）

有关圆的切线的习题尽管很多，但可分两种情况:

1.证明圓的切线.又分两种.①若已知直线与圆的公共点，则采用判定定理法，其基本思路是:连接过公共点的半径，证明这条半径与直线垂直.简述为:有公共点，连半径证垂直.②若未知直线与圆的交点，则采用数量关系法，其基本思路是:过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半径.简述为:无公共点，作垂线，证半径.

2.与切线相关的计算题.关键是建立几何量已知与未知的关系，常从以下几个角度思考:①找直角三角形，利用三角函数代换.②利用勾股定理求值或建立方程关系.③利用相似形找量的关系.

【几何有三宝，勾股、相似和三角】

【题目呈现】

1.如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连接DE.

(1)若AD=DB，OC=5，求切线AC的长;

(2)求证:ED是⊙O的切线.

【分析】第1问简单，由于AC切⊙O于点C，所以∠C=90°，又D是AB的中点，∴连接CD，∵BC是直径∴∠BDC=90°，∴CD垂直平分AB，∴AC=BC=2OC=10.

第2问，由于D点在圆上，所以连接OD，证∠ODE=90°，如何入手呢？由于BC是直径，所以连接DC，则∠BDC=∠ADC=90°，又E是AC的中点，O是圓心，如图

则∠B=∠1，∠2=∠A(直角三角形斜边的中线等于斜边的一半)，而在Rt△ABC中，∠A+∠B=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠3+∠4=∠ODE=90°，∴得证.

也可这样，∠3=∠5，∠4=∠6，而∠5+∠6=∠C=90°，∴∠3+∠4=90°=∠ODE，得证.

另外，由于E是AC的中点，O是BC的中点，∴连接OE，如图

则OE是△ABC的中位线，∴OE∥AB，∴∠1=∠3，∠2=∠4，而∠3=∠4，∴∠1=∠2，加上OD=OC，OE做公共边，△ODE≌△OCE，∴∠ODE=∠C=90°，得证.(从不同角度思考，得出不同的解法)

2.如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E.

(1)求证AC平分∠DAB;

(2)连接BE交AC于点F，若cos∠CAD=4/5，求AF/FC的值.

【分析】(1)由已知CD是⊙O的切线，所以连接OC，则OC⊥CD，又AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠DAC=∠OCA，而∠OCA=∠OAC，∴∠DAC=∠OAC，∴AC平分∠DAB.

(2)证比值，想到相似，想到三角函数，但题中没有给出线段的长度，而给出了一个比值，想到设未知数，建立相应的关系而求值.连接BE交AC于F，交OC于G，连接BC，如图

则∠AEB=90°，四边形DEGC为矩形，则EG=BG=DC，DE=CG，又知，∠CAD=∠CAB=∠CBG，分析知AF/FC=AE/ED.接下来就看你如何找量的关系.由于cos∠CAD=AD/AC=4/5，∴设AC=5x，AD=4x，DC=3x，∴EG=BG=3x，∵∠CBG=∠CAD，∴BG/BC=AD/AC=4/5，∴BC=15x/4，CG=9x/4=DE，AE=AD一DE=4x一9x/4=7x/4，∴AE/DE=AF/FC=(7x/4)÷(9x/4)=7/9.直接求不出AF/FC转化为求AE/DE，体现了转化的思想方法.运用代数方法解几何问题，关键是学会运用未知数建立等量关系，如果说这是一元关系，我们再设两元，看能否解出.

设两元未知数，最终还得找到两元未知数的关系.设DC=3x，AD=4×，AC=5x，则BE=6x，设FC=3a，BC=4a，BF=5a，则CG=12a/5=DE，则AE=AD一DE=4x一12a/5，EF=BE一BF=6x一5a，而EF/AE=DC/AD=3/4，即(6x一5a)÷(4x一12a/5)=3/4，解之得x=16a/15，∴AF/FC=(AC一FC)/FC=(5x一3a)÷3a=7/9或AF/FC=AE/DE=(4x一12a/5)÷12a/5=7/9.

【总结反思】

中考一定有切线的大分值题，有关切线的计算题，往往结合勾股定理，相似，三角函数求解，同学们一定要多加强这方面的练习，以求立于不败之地。

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