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有理数运算特辑 有理数的加法 将一个或多个有理数的值相加的过程叫有理数的加法，如：23+64+52=139 分析理解 与小学加法的联系 有理数的加法与小学的加法大有不同,小学的加法不涉及到符号的问题,而有理数的加法运算总是涉及到两个问题:一是确定结果的符号;二是求结果的绝对值. 法则理解 在进行有理数加法运算时,首先判断两个加数的符号:是同号还是异号,是否有0.从而确定用那一条法则.在应用过程中,一定要牢记'先符号,后绝对值',熟练以后就不会出错了. 法则拓广 多个有理数的加法,可以从左向右计算,也可以用加法的运算定律计算,但是在下笔前一定要思考好,哪一个要用定律哪一个要从左往右计算. 有理数加法法则 Ⅰ.同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加. Ⅱ.异号两数相加，绝对值相等时，和为零，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 Ⅲ.一个数与0相加,仍得这个数. 运算律 1、有理数的加法同样拥有交换律和结合律(和整数得交换律和结合律一样)用字母表示为: 交换律:a+b=b+a 两个数相加，交换加数的位置，和不变。 结合律:a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)。 2、三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 有理数的加法解析 一般地，同号两数相加有下面的法则： 同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。 一般地，异号两数相加有下面的法则： 异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 另外，有理数相加还有以下法则： 互为相反数的两个数相加得零；一个数同零相加，仍得这个数。 有理数相加的例子： 两个有理数相加，有多少种不同的情形？ 为此，我们来看一个大家熟悉的实际问题： 足球比赛中赢球个数与输球个数是相反意义的量．若我们规定赢球为“正”，输球为“负”，打平为“0”．比如，赢3球记为+3，输1球记为-1．学校足球队在一场比赛中的胜负可能有以下各种不同的情形： (1)上半场赢了3球，下半场赢了1球，那么全场共赢了4球．也就是 (+3)+(+1)=+4． (2)上半场输了2球，下半场输了1球，那么全场共输了3球．也就是 (-2)+(-1)=-3． 现在，请同学们说出其他可能的情形． 答：上半场赢了3球，下半场输了2球，全场赢了1球，也就是 (+3)+(-2)=+1； 上半场输了3球，下半场赢了2球，全场输了1球，也就是 (-3)+(+2)=-1； 上半场赢了3球下半场不输不赢，全场仍赢3球，也就是 (+3)+0=+3； 上半场输了2球，下半场两队都没有进球，全场仍输2球，也就是 (-2)+0=-2； 上半场打平，下半场也打平，全场仍是平局，也就是 0+0=0． 上面我们列出了两个有理数相加的7种不同情形，并根据它们的具体意义得出了它们相加的和．但是，要计算两个有理数相加所得的和，我们总不能一直用这种方法．现在请同学们仔细观察比较这7个算式，你能从中发现有理数加法的运算法则吗？也就是结果的符号怎么定？绝对值怎么算？ 1．同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2．绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0； 3．一个数同0相加，仍得这个数． 有理数的加法与小学的加法大有不同，小学的加法不涉及到符号的问题，而有理数的加法运算总是涉及到两个问题：一是确定结果的符号；二是求结果的绝对值。 在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0。从而确定用那一条法则。在应用过程中，一定要牢记'先符号，后绝对值',熟练以后就不会出错了。 多个有理数的加法，可以从左向右计算，也可以用加法的运算定律计算，但是在下笔前一定要思考好，哪一个要用定律哪一个要从左往右计算。 要点 同号相加不变,异号相加变减.欲问符号怎么定,绝对值大号选。 在进行有理数加法运算时，一般采取： 1.是互为相反数的先加（抵消）； 2.同号的先加； 3.同分母的先加； 4.能凑整数的先加; 5.异分母分数相加,先通分,再计算. 6.几个数相加能得到整数的可以先相加。 记忆口诀 有理加法不含糊 同号异号分清楚 如果两数号相同 绝对相加号相从 如果两数号相异 大绝来把小绝去 结果符号大绝替 有理数减法 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。其中：两变：减法运算变加法运算，减数变成它的相反数。一不变：被减数不变。可以表示成： a－b=a+（－b）。 表达式: a-b=a+(-b) 例题1： 计算：1、（-3）-（-5）= 2、0-7= 3、7.2-（-4.8）= 4、0-（-8）= 例2：数轴上A、B、C、D所表示的有理数分别是+1、+3、-2、-4，用有理数减法的算式分别表示以下两点间的距离。 （1）A、B两点。 （2）C、D两点。 （3）A、D两点。 （4）D、C两点。 例3、世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰，其海拔高度大约是8844米，吐鲁番盆地的海拔高度大约是－155米．两处高度相差多少米？ 解：8844-（-155）=8844+155=8999（米） 答：两处高度相差8999米 （强调解题格式） 练习 1.两个有理数相减，是否存在“不够减”的问题呢？ 差一定小于被减数吗？ 2.若a与b两数相减，差是负数，则a 有理数乘法 有理数乘法法则即两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何一个数与0相乘，积仍为0。有理数乘法运算律即分配律、结合律、交换律。用字母表示为：ab=ba、a(bc)=(ab)c、a(b+c)=ab+ac。 符号法则: 两数相乘，同号得正，异号得负 特殊运用: 任何数与0相乘，积仍为0 具体步骤： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。例：（-5）×（-3）= +（5 x 3）=15 （-6）×4= - （6 x 4）= -24 （2）任何数与0相乘，积为0. 例：0×1=0 （3）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个数时，积为负数；当负因数有偶数个数时，积为正数。并把其绝对值相乘。例：（-10）×〔-5〕×（-0.1）×（-6)=积为正数，而（-4）×（-7）× (-25）=积为负数 （4）几个数相乘，有一个因数为0时，积为0. 例：3×（-2）×0=0 （5）乘积为一的两个有理数互为倒数（reciprocal）。例如，—3与—1/3，—3/8与—8/3 (5)0没有倒数 (6)如果有两个有理数的乘积为1，那么称其中一个数为另一个数的倒数（reciprocal)，也称这两个有理数互为倒数。例如：3与3分之一互为倒数，负八分之三与负三分之八互为倒数。 [同号得正，异号得负] 重点：运用有理数乘法法则正确进行计算。 难点：有理数乘法法则的探索过程，符号法则及对法则的理解。 计算： 1）（-54）×（-0.02）×（-100/21）×（-2）=0.4536 2）（-4）X（-5）X 0.25=20X0.25=5 3） 100 X （-3）X （-5）X 0.01=(-300)X(-5)X0.01=1500X0.01=15 4）（1/9 - 1/6 - 1/18）X 36=(-1/18-1/18)X36=-1/9X36=-4 5）（1/4 - 1/2 - 1/8）X 128=(-1/4-1/8)X128=-3/8X128=-48 有理数除法法则 法则一、除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数。（注意：0没有倒数）公式：a÷b=a×1/b 法则二、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。（0除以任何一个非0的数，都得0） 说明: 0没有倒数 （1）0除以任何一个不等于0的数，都等于0。 （2）0在任何条件下都不能做除数。 （3）0没有倒数。 （4）倒数是它本身的数是1和-1。 （5）同号得正，异号得负。 （6）除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数。 运算公式 a÷b=a×1/b（b≠0) 一般步骤 1. 两个有理数相除时，首先确定商的符号，其次确定商的绝对值。 2. 有理数除法运算的步骤：（1）“÷”改为“×”，除数变倒数；（2）乘法运算。 有理数乘方 求相同因数的积叫做乘方（involution）。乘方运算的结果叫幂（power）。正数的任何次幂都是正数，负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。 表示 2²，7³也可以看做是乘方运算的结果，这时它们表示数，分别读作“2的2次幂”、“7的3次幂”，其中2与7叫做底数（base）,2与3叫做指数（exponent）。 这种求n个相同因数a的积运算叫做乘方（power），乘方的结果叫做幂（power），a叫做底数（base number），n叫指数（exponent）。任何数的0次方都是1，例：3º=1（注：0º无意义） (2^5=2*2*2*2*2)[2] 1、重点：在理解有理数乘方意义的基础上进行有理数的乘方运算。 2、难点：与所学知识进行衔接，处理带各种符号的乘方运算。 性质 正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，0的任何正整数次幂都得0. 例题 某种细胞每过30分便由一个分裂成2个。经过5h，这种细胞由一个能分裂成多少个？ 解答：1个细胞30min后分裂成2个，1h后分裂成2×2个，1.5h后分裂成2×2×2个…… 5h后要分裂10次，分裂成2×2×2×2×2×2×2×2×2×2=1 024（个） 为了简便，可将2×2×2×2×2×2×2×2×2×2记为2¹º。 有理数混合运算法则 有理数的运算顺序： 有理数的混合运算法则即先算乘方或开方， 再算乘法或除法，后算加法或减法。有括号时、先算小括号里面的运算，再算中括号，然后算大括号。 [5×（4-5+5）]÷5 =（5×4）÷5 =4 运算律： ①加法的交换律：a+b=b+a； ②加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)； ③乘法的交换律：ab=ba； ④乘法的结合律：(ab)c=a(bc)； ⑤乘法对加法的分配律：a(b+c)=ab+ac； 注：除法没有分配律。 有理数的加减混合运算的几个技巧: 小学生进入初中以后，接触了正，负数，很多同学觉得数学的知识增加了很多。但一开始学习有理数加减混合运算，他们发现很容易犯错误，而且在运算过程中有时不知所措。有理数的运算是初中数学中的基础运算，熟练地掌握有关的运算技巧，巧妙地运用有关数学方法，是提高运算速度和准确性的必要保证．下面介绍一些运算技巧． 一、 归类运算 进行有理数的加减运算时，运用交换律、结合律归类加减，常常可以使运算简捷．如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等． 例： 评析：解法一是小数与小数相结合，解法二整数与整数结合，这样解决了既含分数又含小数的有理数加减运算问题．同学们遇到类似问题时，应学会灵活选择解题方法．将同类数（如正数或负数）归类计算。 例： 二、凑整数法。在式子中若既有分数又有小数，有些数相加后能凑出整数，这样做的目的是使得运算简便 将和为整数的数结合计算。 例： “凑整”就是把“一些分数（或小数）凑成整数”，把“一些整数凑成10的整倍数”，使有理数式子容易计算出结果。在凑整过程中，常用添项、拆项、分解因数、提公因数等方法技巧。 三、变换顺序 在有理数的运算中，适当改变运算顺序，有时可以减少运算量，在具体运算过程中，技巧是恰到好处地运用交换率、结合律和分配律等运算律简化运算． 评析：在运算前，首先观察、分析参与运算的数的特征、排列顺序等，适当交换一下各数的位置，达到简化运算、快速解题的目的． 四、 逆用运算律 在处理有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征，对此加以灵活变形，便可巧妙地逆用分配律，使解题简洁明快． 评析：很明显，灵活变形，逆用分配律，减少了运算量，提高了解题效率． 五、 巧拆项 把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷． 评析：对于这些题目结构复杂，长度较大的数，用常规的方法不易解决．解这类问题要根据题目的结构特点，找出拆项规律，灵活巧妙地把问题解决． 把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷。利用下面的拆项公式课化简一些有理数式子的计算 六、观察 根据0、1、在运算中的特性，观察算式特征寻找运算结果为0、1或的部分优先计算。 七、变量替换 通过引入新变量转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用． 评析：此题横看纵看都显得比较复杂，但若仔细观察，整个式子可分为三个部分：，0.125，，因此，采用变量替换就大大减少了计算量． 八、 分组搭配 观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算．
评析：这种分组运算的过程，实质上是巧妙地添括号或去括号问题． 九、 倒序相加 在处理多项式的加减乘除运算时，常根据所求式结构，采用倒序相加减的方法把问题简化．
评析：显然，此类问题是不能“硬算”的，倒序相加可提高运算速度，降低复杂程度．如果一个数列，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和得两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。在处理多项式的加减乘除运算时，常根据所求式结构，采用倒序相加减的方法把问题简化。 对于较复杂的算式直接运算很困难，若能抓住其特征，运用整体运算的思维，创造性地加以解决，就能收到事半功倍的效果。整体换元可以避开局部细节的麻烦，它利用前后项之间的倍数关系，使用的是错位相加法。
十一、 整体换元 对于较复杂的算式直接运算很困难，若能抓住其特征，运用整体运算的思维，创造性地加以解决，就能收到事半功倍的效果．
评析：整体换元可以避开局部细节的麻烦，它利用前后项之间的倍数关系，使用的是错位相加法． 式子的整体角度考察，把部分式子用字母代替后，再进行化简求值。通过引入字母转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用。
十二、简单等差数列求和法 等差数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
有理数运算是中学数学中一切运算的基础，它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则，公式等正确、迅速地进行运算，同时还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。 |
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