数学压轴题

​二次函数相关动点问题，典型例题分析1：

探究试一试，超越自我。

如图，已知二次函数y=-x²+mx+4m的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点（B点在A点的右边），与y轴的正半轴交于点C，且（x₁+x₂）-x₁x₂=10．

（1）求此二次函数的解析式．

（2）写出B，C两点的坐标及抛物线顶点M的坐标；

（3）连接BM，动点P在线段BM上运动（不含端点B，M），过点P作x轴的垂线，垂足为H，设OH的长度为t，四边形PCOH的面积为S．请探究：四边形PCOH的面积S有无最大值？如果有，请求出这个最大值；如果没有，请说明理由．

考点分析：

二次函数综合题；证明题．

题干分析：

（1）由根与系数的关系，得到x₁和x₂的关系式进而求出m的值，所以可求此二次函数的解析式；

（2）令y=0解一元二次方程，可求出B，C两点的坐标；把二次函数的解析式为y=-x²+2x+8配方化为顶点式可求出顶点M的坐标；

（3）过M作MN⊥x轴于N，则ON=1，MN=9，OB=4，BN=3，再由PH∥MN，可求得PH=3BH=3（4-t），所以S=- 3t²/2+10t=-3（t-10/3）²/2+50/3可求出四边形PCOH的面积S最大值．

解题反思：

本题考查了二次函数的综合应用，将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数相关图象与xin性质。

二次函数相关动点问题，典型例题分析2：

如图，在平面直角坐标系中，直线y=3x/4－3/2与抛物线y=－x²/4+bx+c交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为﹣8．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点P是直线AB上方　 　的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．

①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；

②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG．随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标．

考点分析：

二次函数综合题

题干分析：

（1）利用待定系数法求出b，c即可；

（2）①根据△AOM∽△PED，得出DE：PE：PD=3：4：5，再求出PD=y_P﹣y_D求出二函数最值即可；

②当点G落在y轴上时，由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，即根据方程，解得x的值，所以求得此时P的两个坐标，当点F落在y轴上时，同法可得P的另两个坐标（舍去）．

解题反思：

此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的判定以及待定系数法求二次函数解析式，利用数形结合进行分析以及灵活应用相似三角形的判定是解决问题的关键．