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本想写点导数的内容 ，思前想后还是先写连续函数，为后面的导数做一下铺垫。那么函数连续是怎么定义的呢？先看4个图： 不出意外的话，能用连续来表达的图应该是C和D是。如果要在数学上精确定义，怎么来定义它呢？数学上是采用的是点连续推广到区间连续的方式来进行定义的。 第一种定义：设函数y=f(x)在a的某一领域内有定义，如果 那我们就称y=f(x)在a点处连续。我们用图来辅助说明： 从上面的定义和图像中，我们可以得出：①点a和点a+△x在函数内是有定义的，否则不能在小括号里面。这句话就应对了函数y=f(x)在a的某一领域内有定义。②当△x趋向于0的过程时，两点的函数值之差f(a+△x)-f(a)也趋向于0。这句话就对应了上述的这个公式。为了便于同学们的理解，我用几个图来对照着看，这样就能够加深对上面这个含义的理解了。 第一个图： 第一个图在[-2,2]上是不连续的，因为在x=1处，并没有定义！所以不满足上述的①这个条件。如果将该点补上的话，就连续了。 同样可以补全的不连续图像还有： 这个函数图像会在越靠近于0的地方震荡越激烈，以致于我们根本没有办法窥探其真实的函数图像。但是我们可以知道在0点处是没有定义的，因为分母不能为0。这个函数我们将在后期深入探讨它！用到它去解决一些概念的理解是很有帮助的。 第二个图： 这个图像依然在x=1没有定义，但是这一点是不能够补全的。因为在x=1的这个地方，函数值是+∞。 第三个图 图中在x=1处有定义，满足①。我们再来看看是不是满足②。我们可知f(1)=1.5;而f(1+△x)=1（当△x→0时）； 所以f(1+△x)-f(1)=-0.5（当△x→0时）；并不是0,所以这种也不是连续的。 不满足②这个条件的不连续还有下列这样的分段函数： 好了，同学们，对这个连续函数的第一种类型的定义是不是更加了解了呢？下一篇文章将给同学分享连续的另外一种定义，也是我们用的比较多的一种形式。最近比较忙，有时间就会给大家分享高等数学的内容，欢迎大家留言！ |
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