【原】【高考数学】解题能力提升, 每日一题: 第573题

典型例题分析1：

已知cos（π/12﹣θ）=1/3，则sin（5π/12+θ）的值是（　　）

考点分析：

三角函数的化简求值．

题干分析：

由已知及诱导公式即可计算求值．

典型例题分析2：

设函数f（x）=（sin2x）/2+acosx在（0，π）上是增函数，则实数a的取值范围为（　　）

A．[﹣1，+∞） B．（﹣∞，﹣1] C．（﹣∞，0） D．（0，+∞）

解：f（x）=（sin2x）/2+acosx在（0，π）上是增函数，

∴f′（x）=cos2x﹣asinx≥0，

∴1﹣2sin2x﹣asinx≥0，

设t=sinx，t∈（0，1]，

即﹣2t2﹣at+1≥0，t∈（0，1]，

∴a≤﹣2t+1/t，

令g（t）=﹣2t+1/t，

则g′（t）=﹣2﹣1/t2＜0，

∴g（t）在（0，1]递减，

∴a≤g（1）=﹣1，

∴a≤﹣1．

故选：B．

考点分析：

利用导数研究函数的单调性；三角函数中的恒等变换应用．

题干分析：

首先利用函数的导数求函数的单调区间，进一步分离参数法，构造辅助函数，利用导数的求得函数的最小值，即可求出函数中a的取值范围．

典型例题分析3：

考点分析：

三角函数的化简求值．

题干分析：

利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin（2A﹣π/3），由A∈（0，π），可得：2A﹣π/3∈（﹣π/3，5π/3），从而可求A的值，又sinB·cosC，由题意可得sin（2B+π/3）=1，解得B=kπ+π/12，k∈Z，结合范围B∈（0，π），从而可求B的值．

典型例题分析4：

若2cos2α=sin（α﹣π/4），且α∈（π/2，π），则cos2α的值为（　　）

故选：D．

考点分析：

二倍角的余弦；三角函数的化简求值．

题干分析：

法一、由已知推导出cosα+sinα，cosα﹣sinα，解得cosα的值，由此利用二倍角的余弦求得cos2α的值．

法二、利用诱导公式及倍角公式把已知变形，求出cos（π/4－α）=﹣1/4，由α得范围求出的范围π/4－α，进一步求得sin（π/4－α），再由倍角公式得答案．

典型例题分析5：

已知α，β∈（0，π），cosα=12/13，cos（α+β）=3/5，则cosβ=．

考点分析：

两角和与差的余弦函数．

题干分析：

由已知可得α∈（0，π/2），α+β∈（0，π/2）或α+β∈（3π/2，2π），当α+β∈（3π/2，2π）时，由α∈（0，π/2），可得β∈（π，3π/2），矛盾，可得α+β∈（0，π/2），利用同角三角函数基本关系式可求sinα，sin（α+β），再利用两角差的余弦公式求得cosβ=cos[（α+β）﹣α]的值．