初中数学碰到的最值问题，解题策略全分析

在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最低耗最少、产值最高、获利最大等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题，求最值问题的方法归纳起来有下几点：

1.运用配方法求最值；

2.构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；

3.建立函数模型求最值；

4.利用基本不等式或不等分析法求最值。

例题详解

1.若实数x，y满足条件2x²-6x+y²=0，则

x²+y²+2x的最大值是( )。

A.14

B.15

C.16

D.不能确定

[解答]

由已知得：y²=-2x²+6x，

∴x²+y²+2x=x²-2x²+6x+2x=-x²+8ⅹ

=-(x-4)²+16.

又y²=-2x²+6x≥0，

解得：0≤x≤3，

∴当x=3时，y=0,所以x²+y²+2x的最大值为15.

故选：B.

[解析]

由已知得y²=-2x²+6x，代入x²+y²+2x中，用配方法求最大值。

2.分式5x2+30xy+51y2/ⅹ2+6xy+11y2的最小值是( )。

A.-5

B.-3

C.5

D.3

[解答]

原分式变形，得

5x2+30xy+55y2-4y2/x2+6xy+11y2

提取公因式，得

5(x2+6xy+11y2)-4y2/x2+6xy+11y2

约分，得5-4y2/ⅹ2+6xy+11y2，

配方，得5-4y2/(x+3y)2+2y2，

变形，得5-4/(x/y+3)2+2

由(x/y+3)2≥0，可得(x/y+3)2+2≥2，

即5-4/(ⅹ/y+3)2+2≥3.

故所求分式的最小值为3，

所以选D。

[解析]

要求已知分式的最小值，观察分式的分子和分母你有什么思路呢？

先对分子进行变形，再提取公因式，拆项约分，可得5-4y2/x2+6xy+11y2，接下来对上式的分母配方、变形，即可得到，5-4/(ⅹ/y+3)2+2.然后根据（ⅹ/y+3)≥0，相信你不难得到所求分式的最小值了，动手试试吧！

数学中最大值、最小值问题，运用到社会实践、生活实际中所体现出来的就是最优化思想，所谓最优，就是我们所期望的目标量能达到最大或最小。

一次函数、反比例函数并无最值，但当自变量取值范围有条件限制的，最值在图象的端点处取得；定义在全体实数上的二次函数最值在抛物线的顶点处取得。