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2022遵义中考数学压轴题分析1:新定义与含参二次函数的最值问题

 一个大风子 2022-10-03 发表于黑龙江
本题选自2022年遵义中考数学函数压轴题,以二次函数为背景,考查新定义的问题。同时考查二次函数的轴定区间动的最值问题。为近几年的热点趋势内容,值得研究。
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【题目】
(2022·遵义)新定义:我们把抛物线y=ax²+bx+c(其中ab≠0)与抛物线y=bx²+ax+c称为“关联抛物线”.例如:抛物线y=2x²+3x+1的“关联抛物线”为:y=3x²+2x+1.已知抛物线C1:y=4ax²+ax+4a-3(a≠0)的“关联抛物线”为C2.
(1)写出C2的解析式(用含a的式子表示)及顶点坐标;
(2)若a>0,过x轴上一点P,作x轴的垂线分别交抛物线C1,C2于点M,N.
①当MN=6a时,求点P的坐标;
②当a-4≤x≤a-2时,C2的最大值与最小值的差为2a,求a的值.

【分析】
(1)根据新定义,互为关联抛物线的两个抛物线只是把二次项系数a与一次项系数b进行对调而已。那么就可以得到C2的解析式为y=ax²+4ax+4a-3。
那么就可以进行配方,或者用顶点坐标公式得到结论。
y=ax²+4ax+4a-3=a(x+2)²-3。那么顶点坐标为(-2,-3)。
(2)①由于点M的坐标未知,因此只能设未知数,设M(x,4ax²+ax+4a-3),则N(x,ax²+4ax+4a-3),
那么可以得到
MN=|4ax²+ax+4a-3-(ax²+4ax+4a-3)|
      =|3a(x²+x)|
      =3a(x²+x)。
由于MN=6a,则3a(x²+x)=6a,解得x1=-2,x2=1,
则点P的坐标为(-2,0)或(1,0)。
②抛物线C2的顶点坐标是已知的,且a>0,得到开口向上。那么可以进行分类讨论
当x=a-4时,y=a(a-4+2)²-3=a(a-2)²-3,
当x=a-2时,y=a(a-2+2)²-3=a³-3,
i)当a-2≤-2,即a≤0时,此时最大值为a(a-2)²-3,最小值为a³-3,
则a(a-2)²-3-(a³-3)=2a,解得a1=0(舍去),a2=1(舍去)。

ii)当a-4≤-2≤a-2,即0<a≤2时,

0<a≤1,则函数的最大值为a(a-2)²-3,函数的最小值为-3。
则a(a-2)2-3-(-3)=2a,解得a3=2-√2,a4=2+√2(舍去)。
1≤a≤2,则函数的最大值为a³-3,函数的最小值为-3。,
∴a³-3-(-3)=2a,解得a5=√2,a6=-√2(舍去)。
iii)当-2≤a-4≤a-2,即a≥2时,
函数的最大值为a³-3,函数的最小值为a(a-2)²-3。
则a³-3-[a(a-2)2-3]=2a,解得a7=3/2(舍去)。
综上所述,a的值为2-√2或√2。

【总结】
此类问题主要是进行分类讨论,以对称轴为基准,确定顶点是否在给定的范围(区间)内,然后按从左到右或者从右到左的顺序进行讨论。
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