2022遵义中考数学压轴题分析1：新定义与含参二次函数的最值问题

本题选自2022年遵义中考数学函数压轴题，以二次函数为背景，考查新定义的问题。同时考查二次函数的轴定区间动的最值问题。为近几年的热点趋势内容，值得研究。

有兴趣讨论数学学习的同学可以考虑加入以下的QQ群！

2023中考数学学习讨论群：963392512

---

【题目】

（2022·遵义）新定义：我们把抛物线y＝ax²+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx²+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x²+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x²+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax²+ax+4a-3（a≠0）的“关联抛物线”为C2．

（1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；

（2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N．

①当MN＝6a时，求点P的坐标；

②当a-4≤x≤a-2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值．

---

【分析】

（1）根据新定义，互为关联抛物线的两个抛物线只是把二次项系数a与一次项系数b进行对调而已。那么就可以得到C2的解析式为y=ax²+4ax+4a-3。

那么就可以进行配方，或者用顶点坐标公式得到结论。

y=ax²+4ax+4a-3=a(x+2)²-3。那么顶点坐标为（-2，-3）。

（2）①由于点M的坐标未知，因此只能设未知数，设M（x，4ax²+ax+4a-3），则N（x，ax²+4ax+4a-3），

那么可以得到

MN=|4ax²+ax+4a-3-(ax²+4ax+4a-3)|

      =|3a(x²+x)|

      =3a(x²+x)。

由于MN=6a，则3a(x²+x)=6a，解得x1=-2，x2=1，

则点P的坐标为（-2，0）或（1，0）。

②抛物线C2的顶点坐标是已知的，且a＞0，得到开口向上。那么可以进行分类讨论。

当x=a-4时，y=a(a-4+2)²-3=a(a-2)²-3，

当x=a-2时，y=a(a-2+2)²-3=a³-3，

i）当a-2≤-2，即a≤0时，此时最大值为a(a-2)²-3，最小值为a³-3，

则a(a-2)²-3-(a³-3)=2a，解得a1=0（舍去），a2=1（舍去）。

ii）当a-4≤-2≤a-2，即0＜a≤2时，

若0＜a≤1，则函数的最大值为a(a-2)²-3，函数的最小值为-3。

则a(a-2)2-3-(-3)=2a，解得a3=2-√2，a4=2+√2(舍去)。

若1≤a≤2，则函数的最大值为a³-3，函数的最小值为-3。，

∴a³-3-(-3)=2a，解得a5=√2，a6=-√2(舍去)。

iii）当-2≤a-4≤a-2，即a≥2时，

函数的最大值为a³-3，函数的最小值为a(a-2)²-3。

则a³-3-[a(a-2)2-3]=2a，解得a7=3/2(舍去)。

综上所述，a的值为2-√2或√2。

---

【总结】

此类问题主要是进行分类讨论，以对称轴为基准，确定顶点是否在给定的范围（区间）内，然后按从左到右或者从右到左的顺序进行讨论。

更多精彩内容，请关注《中考数学压轴题全解析》！