初二数学-函数及图像知识点整合

函　数

函数的识别

例1：下列关系式中哪些是函数，哪些不是？

(1)y=x；(2)y=x²+z；(3)y²=x；(4)y=±√x

解析：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变量，其次看每一个x的值是否对应唯一确定的y值．

解：(1)此关系式只有两个变量，且每一个x值对应唯一的一个y值，故它是函数．

(2)此关系式中有三个变量，因此y不是x的函数．

(3)此关系式中虽然只有两个变量，但对于每一个确定的x值(x>0)对应的都有2个y值，如当x＝4时，y＝±2，故它不是函数．

(4)对于每个确定的x值(x>0)对应的都有2个y值，如当x＝9时，y＝±3，故它不是函数．

方法总结：由函数的定义可知在某个变化过程中，有两个变量x和y，对于每一个确定的x值，y值都有且只有一个值与之对应，当x值取不同的值时，y的值可以相等也可以不相等，但如果一个x的值对应着两个不同的y值，那么y一定不是x的函数．根据这一点，我们可以判定一个关系式是否表示函数．

自变量的取值范围

例1.函数y＝√(x+1)的自变量x的取值范围是( )

A.x≠1

B.x≥-1

C.x＞-1

D.x≥1

解析：要使y＝√(x+1)有意义，则必须满足x＋1≥0，∴x≥－1.故选B.

方法总结：求自变量的取值范围应从两个方面考虑：一是必须使含自变量的代数式有意义，二是满足实际问题．

函数三种表示方法

例：早年间某地区遭遇了严重干旱．某水库的蓄水量随着时间的增加而减小，干旱持续时间t(天)与蓄水量V(万立方米)的变化情况如图所示，根据图象回答问题．

(1)这个图象反映了哪两个变量之间的关系？

(2)根据图象填表：

(3)当t取0至60天之间的任一值时，对应几个V值？

(4)V可以看成t的函数吗？如果是，试写出用自变量表示函数的式子．

解析：(1)通过读图可知，横坐标表示干旱持续时间，纵坐标表示蓄水量，因此它表示的是干旱持续时间与水库蓄水量之间的关系；

(2)根据图象信息确定每个特殊点的坐标即可；

(3)观察图象可得；

(4)可根据函数的定义来判断．

解：(1)图象反映了干旱持续时间与水库蓄水量之间的关系；

(2)如下表：

(3)当t取0至60天之间的任一值时，对应着一个V值；

(4)V是t的函数．

根据图象可知，该水库初始蓄水量为1200万立方米，干旱每持续10天，蓄水量减少200万立方米，由此写出的式子为：V＝1200-200/10t=＝－20t＋1200(0≤t≤60)

方法总结：三种函数表示方法之间有互补性，是可以相互转化的．

求函数值

例.求当x＝－4时的函数值。

（1）y=(x+2)/4；（2）y=1/(2x+1)

解析：利用已知x的值，代入关系式求出即可．

解：(1)代入x＝－4，得y=(-4+2)/4=-1/2

(2)代入x＝－4，得y=1/(-8+1)=-1/7

方法总结：利用函数值的定义，正确代入自变量的取值求解是解题的关键．

函数图像

例： 洗衣机在洗涤衣服时，每浆洗一遍都经历了注水、清洗、排水三个连续过程(工作前洗衣机内无水)．在这三个过程中，洗衣机内的水量y(升)与浆洗一遍的时间x(分)之间函数关系的图象大致为（）

解析：∵洗衣机工作前洗衣机内无水，∴A，B两选项不正确，淘汰；又∵洗衣机最后排完水，∴D选项不正确，淘汰，所以选项C正确，故选C.

方法总结：本题考查了对函数图象的理解能力，看函数图象要理解两个变量的变化情况．

一次函数与正比例函数

一次函数与正比例函数的识别

例： 下列函数关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？

(1)y＝－x－4;

(2)y＝5x²－6；

(3)y＝2πx;

(4)y＝－2/x；

(5)y＝1/x；

(6)y＝8x²＋x(1－8x)．

解析：首先看每个函数的表达式能否变形转化为y＝kx＋b(k≠0，k、b是常数)的形式，如果x的次数是1，则是一次函数，否则不是一次函数；在一次函数中，如果常数项b＝0，那么它是正比例函数．

解：(1)是一次函数，不是正比例函数；

(2)不是一次函数，也不是正比例函数；

(3)是一次函数，也是正比例函数；

(4)是一次函数，也是正比例函数；

(5)不是一次函数，也不是正比例函数；

(6)是一次函数，也是正比例函数．

方法总结：一个函数是一次函数的条件：自变量是一次整式，一次项系数不为零； 判断一个函数是正比例函数的条件：自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零．

根据一次函数和正比例函数的定义求字母的值

(1)若它是一次函数，求m的值；

(2)若它是正比例函数，求m的值．

解析：(1)要使函数是一次函数，根据一次函数的定义x的指数m²－24＝1，且一次项系数m－5≠0；(2)要使函数是正比例函数，除了满足上述条件外，还需加上m＋1＝0这个条件．

解：(1)因为该函数是一次函数，所以m²－24＝1且m－5≠0，所以m＝±5且m≠5，所以m＝－5.所以当m＝－5时，原函数是一次函数．

(2)因为已知函数是一次函数，所以m²－24＝1且m－5≠0且m＋1＝0.所以m＝±5且m≠5且m＝－1，则这样的m不存在，所以函数不可能为正比例函数．

方法总结：函数是一次函数，则k≠0，且自变量的次数为1.当b＝0时，一次函数为正比例函数．

一次函数的图象

正比例函数的图像画法

例：画出函数y＝－2x的图象．

解析：当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝－2.经过原点O(0，0)和点A(1，－2)作直线，则这条直线就是函数y＝－2x的图象．

解：如图：

方法总结：作函数图象的一般步骤：列表，描点，连线，正比例函数的图象是经过原点的直线，只需再另外找一点就可作出图象．

正比函数的图像

例：已知正比例函数y＝kx(k≠0)，当x＝－1时，y＝－2，则它的图象大致是（）

解析：将x＝－1，y＝－2代入正比例函数y＝kx(k≠0)中，求出k的值为2，即可根据正比例函数的性质判断出函数的大致图象，故选C.

方法总结：本题考查了正比例函数的图象，知道正比例函数的图象是过原点的直线，且当k>0时，图象过一、三象限；当k<>

正比例函数的性质

例：已知正比例函数y＝－kx的图象经过一、三象限， P₁(x₁，y₁)、P₂(x₂，y₂)、P₃(x₃，y₃)三点在函数y＝(k－2)x的图象上，且x₁>x₃>x₂，则y₁，y₂，y₃的大小关系为（）

A．y₁>y₃>y₂

B．y₁>y₂>y₃

C．y₁<><>

D．y₃>y₂>y₁

解析：由y＝－kx的图象经过一、三象限，可知－k>0即k<><0.由正比例函数的性质可知，y＝(k－2)x的函数值y随x的增大而减小，则由x₁>x₃>x₂得y₁<><>

方法总结：正比例函数y＝kx(k≠0)的函数值y随x的变化情况由k的符号决定．k>0时，y随x的增大而增大；k<>

一次函数的应用

确定正比例函数的表达式

解析：本题是利用正比例函数的定义来确定表达式的，即自变量的指数为1，系数不为0，这种类型简称为定义式．

解：由正比例函数的定义知m²－15＝1且m－4≠0，∴m＝－4，∴y＝－8x.

方法总结：利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为1，系数不为0.

确定一次函数的表达式

例： 已知一次函数的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，求一次函数的表达式．

解析：先设一次函数的表达式为y＝kx＋b，因为它的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，所以当x＝0时，y＝5；当x＝2时，y＝－5.由此可以得到两个关于k、b的方程，通过解方程即可求出待定系数k和b的值，再代回原设即可．

解：设一次函数的表达式为y＝kx＋b，根据题意，5=b且-5=-2k+b解得k=-5,b=5.

∴一次函数的表达式为y＝－5x＋5.

方法总结：“两点式”是求一次函数表达式的基本题型．二次函数y＝kx＋b中有两个待定系数k、b，因而需要知道两个点的坐标才能确定函数的关系式．

根据图像确定一次函数表达式

例： 正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为A(4，3)，B为一次函数的图象与y轴的交点，且OA＝2OB.求正比例函数与一次函数的表达式．

解析：根据A(4，3)可以求出正比例函数表达式，利用勾股定理可以求出OA的长，从而可以求出点B的坐标，根据A、B两点的坐标可以求出一次函数的表达式．

解：解：设正比例函数的表达式为y₁＝k₁x，一次函数的表达式为y₂＝k₂x＋b.

∵点A(4，3)是它们的交点，

∴代入上述表达式中，得3＝4k₁，3＝4k₂＋b

∴k₁＝3/4，即正比例函数的表达式为y=3/4x

∵OA=√(3²+4²)=5且OA＝2OB

∴OB＝5/2

∵点B在y轴的负半轴上

∴B点的坐标为(0，－5/2)

又∵点B在一次函数y₂＝k₂x＋b的图象上

∴-5/2=b代入3＝4k₂＋b中，得k₂＝11/8

∴一次函数的表达式为y₂＝11/8x-5/2

方法总结：根据图象确定一次函数的表达式的方法：从图象上选取两个已知点的坐标，然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数，从而求出函数的表达式．

根据实际问题确定一次函数表达式

例： 某商店售货时，在进价的基础上加一定利润，其数量x与售价y的关系如下表所示，请你根据表中所提供的信息，列出售价y(元)与数量x(千克)的函数关系式，并求出当数量是2.5千克时的售价.

解析：从图表中可以看出售价由8＋0.4依次向下扩大到2倍、3倍、……

解：由表中信息，得y＝(8＋0.4)x＝8.4x，即售价y与数量x的函数关系式为y＝8.4x.当x＝2.5时，y＝8.4×2.5＝21.所以数量是2.5千克时的售价是21元．

方法总结：解此类题要根据所给的条件建立数学模型，得出变化关系，并求出函数的表达式，根据函数的表达式作答

利用图像获取信息

例： 由于干旱，某水库的蓄水量随时间的增加而直线下降．若该水库的蓄水量V(万米³)与干旱的时间t(天)的关系如图所示，则下列说法正确的是（）

A．干旱开始后，蓄水量每天减少20万米³

B．干旱开始后，蓄水量每天增加20万米³

C．干旱开始时，蓄水量为200万米³

D．干旱第50天时，蓄水量为1200万米³

解析：从图象上观察：当t＝0时，V＝1200；当t＝50时，V＝200.所以从干旱开始到第50天，蓄水量减少了1200－200＝1000(万米³)，则每天减少1000÷50＝20(万米³)．故选A.

方法总结：要认真观察图象，结合题意，弄清各点所表示的意义．

一次函数与一元一次方程

例： 一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx＋b＝0的解为（）

A．x＝－1

B．x＝2

C．x＝0

D．x＝3

解析：首先由函数经过点(0，1)可得b＝1，再将点(2，3)代入y＝kx＋1，可求出k的值为1，从而可得出一次函数的表达式为y＝x＋1，再求出方程x＋1＝0的解为x＝－1，故选A.

方法总结：此题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，关键是正确利用待定系数法求出一次函数的关系式．

利用两个一次函数解决实际问题

例： 自来水公司有甲、乙两个蓄水池，现将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y(米)与注水时间x(时)之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题．

(1)分别求出甲、乙两个蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数表达式；

(2)求注入多长时间后甲、乙两个蓄水池的深度相同；

(3)3小时后，若将乙蓄水池中的水按原速全部注入甲蓄水池，又需多长时间？

解析：(1)根据图象确定点的坐标，再运用待定系数法确定函数表达式；(2)根据甲、乙两个蓄水池水的深度相同，可以得到一个一元一次方程，解此方程可得注水时间；(3)由图可知乙蓄水池的水深为4米，乙蓄水池水上升的速度为1米/小时，由此求得答案即可．

解：(1)设它们的函数关系式为y＝kx＋b，根据甲的函数图象可知，当x＝0，y＝2；当x＝3时，y＝0，将它们分别代入所设函数关系式y＝kx＋b中得k＝-2/3＝2，所以甲蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数关系式为y＝-2/3x+2， 同理可得乙蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数关系式为y＝x＋1；

(2)由题意得-2/3x+2=x+1，得x=3/5，当注水3/5 小时后，甲、乙两个蓄水池水的深度相同；

(3)4÷(3÷3)＝4小时．所以若将乙蓄水池中的水按原速全部注入甲蓄水池，又需要4小时．

方法总结：本题首先根据图象确定一次函数的表达式．然后结合方程思想解题．

利用两个一次函数解决几何问题

例：已知一次函数y＝3/2x+a和y=-1/2x+b的图象都经过点A(－4，0)，且与y轴分别交于B、C两点，求△ABC的面积．

解析：充分利用数形结合的方法，求出点B，C的坐标，求得BC的长，进而求出面积．

∵函数y＝3/2x+a和y=-1/2x+b的图象都经过点A(－4，0)

∴3/2×（-4）+a=0,-1/2×(-4)+b=0

∴a＝6，b＝－2.

∴两个一次函数分别是y＝3/2x+6和y=-1/2x-2，y＝3/2x+6与y轴交于点B,则y=3/2×0+6=6,

∴B(0，6)；

y=-1/2x-2与y轴交于点C,则y＝－2，

∴C(0，－2)．如图所示，△ABC面积S=1/2BC·AO=1/2×4×(6+2)=16

方法总结：解此类题要先求得顶点的坐标，即两个一次函数的交点和它们分别与x轴、y轴交点的坐标．