备战2019年中考数学专题复习197——与圆有关的综合题

典型例题分析1：

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D，DE⊥AC，垂足为E，交AB的延长线于点F．

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）若∠C=60°，AC=12，求弧BD的长．

（3）若tanC=2，AE=8，求BF的长．

解：（1）连接OD，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∵OD=OB，

∴∠ABC=∠ODB，

∴∠C=∠ODB，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，即OD⊥EF，

∴EF是⊙O的切线；

（2）∵AB=AC=12，

∴OB=OD=AB/2=6，

由（1）得：∠C=∠ODB=60°，

∴△OBD是等边三角形，

∴∠BOD=60°

∴弧BD的长为60π×6/180=2π，即弧BD的长=2π；

（3）连接AD，

∵DE⊥AC∠DEC=∠DEA=900

在Rt△DEC中，tanC=DE/CE=2，

设CE=x，则DE=2x，

∵AB是直径，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

∴∠ADE+∠CDE=90°，

在Rt△DEC中，∠C+∠CDE=90°，

∴∠C=∠ADE，

在Rt△ADE中，tan∠ADE=AE/DE=2，

∵AE=8，

∴DE=4，则CE=2，

∴AC=AE+CE=10，即直径AB=AC=10，则OD=OB=5，

∵OD∥AE，

∴△ODF∽△AEF，

∴OF/AF=OD/AE即：（BF+5）/（BF+10）=5/8，

解得：BF=10/3，即BF的长为10/3．

​典型例题分析2：

已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．

（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）求证：CE²=EH·EA；

（3）若⊙O的半径为5，sinA=3/5，求BH的长．

考点分析：

圆的综合题．

题干分析：

（1）由圆周角定理和已知条件证出∠ODB=∠ABC，再证出∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，即可得出BD是⊙O的切线；

（2）连接AC，由垂径定理得出弧BE=弧CE，得出∠CAE=∠ECB，再由公共角∠CEA=∠HEC，证明△CEH∽△AEC，得出对应边成比例CE/EH=EA/CE，即可得出结论；

（3）连接BE，由圆周角定理得出∠AEB=90°，由三角函数求出BE，再根据勾股定理求出EA，得出BE=CE=6，由（2）的结论求出EH，然后根据勾股定理求出BH即可．