抓住问题本质，递进式探索思路方法，轻松解决中考压轴题

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今天继续分享中考压轴题的知识，我们还是先看真题吧！

如图，抛物线E:y=x2+4x+3交x轴于A、B两点，交y轴于M点，对称的抛物线F交x轴于C、D两点

⑴ 求F的解析式；

⑵ 在x轴上方的抛物线F或E上是否存在点N使以A、C、N、M为顶点的四边形是平行四边形。若存在，求点N坐标；若不存在，请说明理由；若抛物线E的解析式改为y=ax2+bx+c，试探索问题⑵。

解题思路提示

求函数解析式的一般方法是待定系数法，用待定系数法求函数解析式的一般步骤：

①写出含有待定系数的解析式；

②把已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程(组)；

③解方程(组)，求出待定系数；

④将求得的待定系数的值代入之前所设的解析

式。

本题中可先设出抛物线F的解析式，再根据对称性，由抛物线E确定出抛物线F上的三个点进而将点的坐标代入F的解析式中，解方程组求出待定的系数。

第⑵问属于探索性的题目，做这类题目的关键是要抓住问题的本质，来进行探索。若能结合平移的相关知识来探索，则第⑵问就比较容易求解了。我们再疏理一下已知条件，多问自己几个为什么。

1、第⑴问中要求抛物线F的解析式，你能想到用待定系数法来求解吗?

2、两条抛物线关于y轴对称，由此你能通过已知的抛物线E找出抛物线F上的几个点吗？自己试试；

3、将你找出的几个点的坐标，分别代入F的解析式中，通过解方程组确定出待定的系数；相信第一问你已经有思路了；

4、回想平行四边形的判定定理以及性质，先假设存在这样的点N，想一想点N应满足什么条件？

5、由平行四边形对边平行且相等，相信你能确定出点N的坐标了，将坐标代入抛物线方程中进行验证，判断点N是否在抛物线上。我们做做吧！

解题步骤

解：⑴解方程x2+4x+3=0,得两个根为-1和-3

∴抛物线E:y=x2+4x+3与x轴的交点为A(-3,0)，B(-1,0)

∴点A(-3,0)，B(-1,0)关于y轴的对称点为

D(3，0)，C(1，0)

∵当x=0时，y=3

∴抛物线E:y=x2+4x+3与y轴的交点为M(0，3)

∴点M(0，3)在y轴上

∴点M(0，3)关于y轴的对称点仍为点M(0，3)

∵抛物线F与抛物线E:y=x2+4x+3关于y轴对称

∴抛物线F过点D(3，0)，C(1，0)，M(0，3)三点

设抛物线F的解析式为:y=ax2+bx+c

∵抛物线F过点D(3，0)，C(1，0)，M(0，3)三点

∴9a+3b+c=0，a+b+c=0，c=3

解方程组得a=1，b=-4，c=3

∴F的解析式为：y=x2-4x+3

⑵如果存在点N则可知AC=NM且AC//NM

∵点A、C的坐标分别为(-3，0)、(1，0）

∴AC=|-3-1|=4

∵AC=NM

∴NM=4

∵AC//NM，NM=4M点的坐标为(0，3)

∴点N的坐标为(-4，3)或(4，3)

将点N(4，3)的横纵坐标代入抛物线F：

y=x2-4x+3的解析式中得16-16+3=3满足抛物线方程，故抛物线F上存在点N(4，3)使得四边形ACNM为平行四边形，

将点N(-4，3)的横纵坐标代入抛物线E:

y=x2+4x+3的解析式中得

16-16+3=3满足抛物线方程，故抛物线E上存

在点N(-4，3)使得四边形ACNM为平行四边形

若抛物线E的解析式为y=ax2+bx+c

则抛物线E的对称轴为x=-b/2a

∵抛物线F与抛物线E关于y轴对称

∴抛物线F的对称轴与抛物线E的对称轴也

关于y轴对称

∵抛物线E的对称轴为x=-b/2a

∴抛物线F的对称轴为x=b/2a

∴两条抛物线的对称轴之间的距离为b/a

∴从平移的角度来看，其中的一条抛物线可由另一条抛物线经过平移得到，且平移的距离为b/a

将点M的对应点设为N，A点的对应点为点C

∵经过平移，对应点的连线段平行且相等

∴MN∥AC且MN=AC

∴四边形ACNM为平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)。

解题总结

上题考查了我们平时所学内容的综合性，解题思路呈现方式的递进性，解题过程的探索性，解答方法的多样性，这是压轴题的特点。

正确地辨析“压点”是解压轴题的关键，基本辨析的路径是：

⑴能否根据题干中的内容发现问题中的隐含条件；建立思路体系；

⑵能否把问题与我们所学知识建立联系；

⑶能否把所学知识综合运用全面地解决问题。