实数理论的建立——基本序列方法

这个方法主要是由康托给出的。回想判断数列是否收敛的柯西准则，称一个满足柯西准则的数列为基本序列。从实数的有限或者无限小数的定义，不难验证：一个有理数可以用一个收敛的由有理数组成的数列的极限表示，比如这个数列的所有项都是这个有理数；一个无理数也可以用一个收敛的由有理数组成的数列的极限表示，比如对于a=√2，那么收敛到a的数列{a_n}的各项可以是

a₁=1.4

a₂=1.41

a₃=1.414

......

因此，一个实数可以对应于一个基本序列。于是定义基本数列的极限点为实数。如果有两个基本序列，比如{a_n}和{b_n}，收敛于同一个极限点，那么，必有：当n→∞时a_n-b_n→0，康托称其为等价类。这样，一个实数与一个有基本序列组成的等价类就一一对应了，定义是合理的。

下面我们证明√a·√b=√a·b，其中a和b为正实数。令{a_n}和{b_n}分别为收敛到√a和√b的基本序列，容易验证{a²_n}和{b²_n}均为有理数列并且分别收敛到a和b，因为n→∞时a²_n·b²_n→a·b，因此{a²_n·b²_n}={(a_n·b_n)²}是确定实数(a·b)的基本序列，即{(a·b)}是确定实数√a·b的基本序列，这就证明了命题。

通过上面的论述，我们还可以得到这样一个基本事实：实数集合R不仅对于四则运算是封闭的，而且对于极限运算也是封闭的。

用基本序列的方法对于论证问题是有利的，但是就计算法则而言是没有新意的，特别是基本序列的等级类是令人费解的，因为我们无法知道这个类里的元素是什么，也无法知道这个类里的元素有多少，更不知道是否所有的等价类中的元素都是一样多。为了把一件事情解释清楚，往往会带来更多的疑惑。

为了实数理论的完备，还有一个问题是需要解决的，就是实数与数轴上的点是否是一一对应的。只有解决了这个问题，我们才能安下心来研究基于实数的所有数学理论。在用小数来定义实数的时候我们已经知道，实数与数轴上的点是对应的，但要实现“一一对应”还需要证明实数的连续性，因为从直观上看，数轴是连续不断的，现在我们需要验证实数是否也是连续不断的。关于这个命题，用基本序列的方法来证明是困难的，因为基本序列在本质上仍然刻画的是独立的点。

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