高中数学：变化率与导数典型例题

一、导数的概念

例1、若函数的导函数在区间上是增函数，

则函数在区间上的图象可能是

解析：因为函数的导函数在区间上是增函数，即在区间上各点处函数的变化率是递增的，故图像应越来越陡峭. 由图易知选A.

说明：考查了导数的概念——函数的变化率以及图像的变化规律，是以高等数学中函数图像的凹凸性为背景命制的，虽然试题的设计来源于高等数学，但考查的还是中学所学的初等数学知识. 

二、导数的几何意义

例2、已知函数的图象在点处的切线方程是，则             。

解析：因为，所以，由切线过点，可得点M的纵坐标为，所以，所以

答案：3

 

三、求曲线的切线方程

例3、求曲线：过点的切线方程。

解析：可判定P点不在曲线C上。设切点为，

切线斜率

故切线方程为，

则，

解得：或。

所以切线方程为及。

反思：已知曲线C：，求过点的曲线的切线方程。其步骤为：

第一步：判定点P是否在曲线C上

第二步：求导数

第三步：若P点在曲线C上，则所求的切线方程为；若P点不在曲线上，可设切点，由解出。进而确定过P点的曲线C的切线方程为。

四、利用导数的几何意义研究曲线的切线问题

例4、已知曲线C：，直线，且直线与曲线C相切于点（），求直线的方程及切点坐标。

解析：直线过原点，则。由点在曲线C上，则，       。又，在处曲线C的切线斜率为，，整理得：，解得：或（舍），此时，，。所以，直线的方程为，切点坐标是。

答案：直线的方程为，切点坐标是

说明：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。

 

例5、若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于

A. 或

B. 或

C. 或

D. 或

解析：设过的直线与相切于点，所以切线方程为

即，又在切线上，则或，

当时，由与相切可得，

当时，由与相切可得，所以选.

说明：函数的切线问题，切点是关键，因为它是联结曲线和其切线的“桥梁”，在做题中往往需要设出切点.  

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