【原】高考数学之一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解法是高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，难度为中档题．

高考对一元二次不等式解法的考查主要有以下两个命题角度：

(1)解一元二次不等式；

(2)已知一元二次不等式的解集求参数．

[典例引领]

　解下列不等式：

(1)－2x²＋3x＋2<0；

(2)12x²－ax>a²(a∈R)．

【解】　(1)－2x²＋3x＋2<0，即为2x²－3x－2>0.

Δ＝(－3)²－4×2×(－2)＝25>0.

方程2x²－3x－2＝0的两实根为x₁＝－，x₂＝2.

所以2x²－3x－2>0的解集为{x|x<－或x>2}，

即原不等式的解集为{x|x<－或x>2}．

(2)因为12x²－ax>a²，

所以12x²－ax－a²>0，即(4x＋a)(3x－a)>0.

令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x₁＝－，x₂＝.

①当a>0时，－<，解集为；

②当a＝0时，x²>0，解集为{x|x∈R，且x≠0}；

③当a<0时，－>，解集为.

综上所述：当a>0时，不等式的解集为；当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0}；当a<0时，不等式的解集为.

　

[题点通关]

 角度一　解一元二次不等式

1．解下列不等式：

(1)－3x²－2x＋8≥0；

(2)0<x²－x－2≤4.

[解] (1)原不等式可化为3x²＋2x－8≤0，

即(3x－4)(x＋2)≤0.解得－2≤x≤，

所以原不等式的解集为.

(2)原不等式等价于

⇔

⇔⇔

借助于数轴，如图所示，

原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2<x≤3}．

 角度二　已知一元二次不等式的解集求参数

2．已知关于x的不等式ax²＋2x＋c>0的解集为，则不等式－cx²＋2x－a>0的解集为______．

[解析] 依题意知，

所以解得a＝－12，c＝2，

所以不等式－cx²＋2x－a>0，

即为－2x²＋2x＋12>0，即x²－x－6<0，

解得－2<x<3.

所以不等式的解集为(－2，3)．

[答案] (－2，3)