初中阶段重要模型：正方形中含有45º角相关结论总结及应用

如图：正方形ABCD中，已知∠MAN=45º，其两边与BC、CD分别交于M、N两点

记正方形边长为a，根据全等及相似：

---

简单证明：

• 对于(1)：如图将△DAN绕点A旋转90º

根据正方形条件

∠MAN＝∠MAN'＝ 45º,AN＝AN'

易得△MAN≌△MAN'(SAS)

BN'=DN ，MN=MN'

MN＝BM+DN

根据均值不等式得

BM+DN≥2√BM*DN

当M、N是所在边中点

BM＝DN时

MN最小为：√2a /2

当AM与AB或AN与AD重合时

MN最大为：a

---

• 对于(2)由(1)结论计算周长可得

• 对于(3)由全等对应高相等可得

AH＝AB＝a

---

• 对于(4)

因为EF、BE、DF在一条线上，通过变换构造直角三角形

参照(1)的方法

将△DAF绕点A旋转90º ,连接PE

可得△PAB≌△FAD

∴PA=FA, PB＝DF(i)

∠PAE＝∠FAE＝ 45º

∴△PAE≌△FAE(SAS)

∴PE=EF(ii)

又BD是正方形对角线

∴∠PBA＝∠ABE＝ 45º

∴∠PBE＝ 90º

∴PE²=BE²+PB²

∴EF²=BE²+DF²

---

• 对(5)如下图，以△AFM为例

在△FMA与△FMB中

结合正方形对角线等条件得

∠FAM＝∠FBM＝ 45º

∴A、B、M、F四点共圆(两个三角形顶角相等且底边在同侧)

∵∠ABM＝ 90º

∴AM是直径

∴∠AFM＝ 90º

∴△AFM是等腰直角三角形

---

• 对于(6)根据(5)可得

在等腰Rt△AFM中

AM:AF=√2

同理AN：AE＝√2

即AM:AF=AN:AE

∴△AMN∽△AFE(注意对应边)

∴S△ᴀᴍɴ：S△ᴀғᴇ＝2

---

• 对于(7)

因为△AMN的高与正方形的边长相等，所以易得

---

小结：本模型相关结论主要以几何变换中的旋转为基础，放转后其实又出现了对称图形，所以初中几何三大基本变换是角决几何问题的基本思路，数学在证明定理或结论的过程中探究其由来有助于更好地掌握相关知识点便于应用。

---

---

知识应用

例1、如图，已知E是正方形ABCD的边AB上一点，A关于DE的对称点为F，∠BFC＝ 90º，求AB:AE=?（四川省竞赛题）

[思路导航]题中没有数量关系求线段比值，结合正方形我们考虑利用勾股定理设数解决，根据对称可得由Rt△ADE≌Rt△FDE，EF像我们上面的模型中的“MN”一部分(参考结论1)，延长EF正好与Rt△BFC产生联系

---

如图：延长EF与BC于M，连接DM与FC交于N

∵点F、A关于DE对称

∴Rt△ADE≌Rt△FDE

∴DF＝AD, ∠ADE=∠FDE(i)

易得Rt△DFM≌Rt△DCM（HL）

∴∠FDM=∠CDM(ii)

∴∠EDM＝ 45º

DN是FC的垂直平分线

则MN是Rt△BFC的中位线

M是BC中点

设正方形边长为1，AE＝x

则BM＝CM＝1/2

FM＝CM＝1/2

由Rt△BEM计算得

X=1/3

AB:AE=3

---

例2、如图在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠BAC＝ 45 º ，BD＝2，CD＝3，求AD的长

[思路导航]有45º角及垂直条件，结合模型中三角形高与正方形的边长相等(参考结论3)，可考虑以A为顶点构造正方形（其实是分别以AB、AC为对称轴进行对称变换后连接）

根据AD＝AE设数可解