【原】一个三元约束不等式

已知：(x、y、z)＞0，xy+xz+yz=1

求证：xyz(x+y)(x+z)(y+z)≥(1-x²)(1-y²)(1-z²) 

证明：

（一）三正数(x、y、z)的大小分析：

（1）三正数都不小于1的情况不存在：xy+xz+yz=1。

（2）三正数有两个不小于1的情况也不存在：z=(1-xy)/(x+y)。

（3）三正数只有一个不小于1的情况，原不等式成立。

（4）只需分析三正数都小于1的情况。

（二）原不等式变形：

（1）左式变换=(1-xy)(1-xz)(1-yz)=xyz(x+y+z)-(xyz)²

（2）右式展开=1-x²-y²-z²+(xy)²+(xz)²+(yz)²-(xyz)²

（3）只需证明：x²+y²+z²+xyz(x+y+z)≥1+(xy)²+(xz)²+(yz)²

（三）综合证明法一：

（1）(y-z)²≥x²(y-z)²

         (x-z)²≥y²(x-z)²

         (x-y)²≥z²(x-y)²

（2）相加得，x²+y²+z²-1≥(xy)²+(xz)²+(yz)²-xyz(x+y+z) （得证）

（四）综合证明法二：

(1-xy)²=1+(xy)²-2xy ≥1+(xy)²-x²-y²=(1-x²)(1-y²)，即

(1-xy)² ≥ (1-x²)(1-y²)

(1-xz)² ≥ (1-x²)(1-z²)

(1-yz)² ≥ (1-y²)(1-z²)

相乘得，[(1-xy)(1-xz)(1-yz)]² ≥ [(1-x²)(1-y²)(1-z²)]²

开方得，(1-xy)(1-xz)(1-yz) ≥ (1-x²)(1-y²)(1-z²) （得证）

（五）问题：

已知：三正数(x、y、z)有一个大于1，且xy+xz+yz=1。

疑问：xyz(x+y)(x+z)(y+z)≥|(1-x²)(1-y²)(1-z²)|成立否？

答案：不成立。令x=y→0，左式→1/4，右式→(-∞ )。