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如图，已知抛物线y＝(1/2)x^2+bx+c与直线y＝(1/2)x+3相交于A、B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A(0，3)，C(-3，0). （1）求此抛物线的解析式； （2）在抛物线对称轴L上找一点M，使|MB-MD|的值最大，并求出这个最大值； （3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q. 问：是否存在点P，使得以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。  解：（1）将A(0，3)和C(-3，0)代入y＝(1/2)x^2+bx+c，得：c＝3，(9/2)-3b+c＝0 解得：b＝5/2，c＝3 ∴ 抛物线的解析式为：y＝(1/2)x^2+(5/2)x+3 （2）由抛物线的对称性可知，点D与点C关于对称轴L对称，所以对于在L上任意点M都有MD＝MC. ∴ |MB-MD|＝|MB-MC| ∴ 当B、C、M三点共线时，|MD-MC|取最大值，即|MB-MD|取最大值，也就是BC的长。 将抛物线解析式和直线的解析式组成方程组，可得点B的坐标。 由y＝(1/2)x^2+(5/2)+3，y＝(1/2)x+3解方程组得：{x1＝0，y1＝3}和{x2＝-4，y2＝1} 因为点B不在y轴上，所以舍去{x1＝0，y1＝3} 因此点B的坐标为：B(-4，1) 过点B作BE⊥x轴于点E，则BE＝1，CE＝EO-CO＝1，如图所示：  在Rt△BEC中，BC^2＝BE^2+CE^2＝2 ∴ BC＝√2 ∴ |MB-MD|的最大值为√2. （3）在Rt△BCE中， ∵ BE＝CE＝1， ∴ ∠BCE＝45° 在Rt△ACO中，∵ AO＝CO＝3 ∴ ∠ACO＝45° ∴ ∠ACB＝180°-45°-45°＝90° ∵ PQ⊥PA ∴ ∠APQ＝90° 如图，过点P作PG⊥y轴于点G，则∠PGA＝90°  设点P的横坐标为：x，则纵坐标为：(1/2)x^2+(5/2)x+3（x＞0），此时： PG＝x，AG＝(1/2)x^2+(5/2)x ①当∠PAQ＝∠BAC时，△PAQ～△CAB ∵ ∠PGA＝∠ACB＝90°，∠PAG＝∠CAB ∴ △PGA～△BCA ∴ BG/PG＝AC/AG，即PG/AG＝BC/AC＝1/3 ∴ x/[(1/2)x^2+(5/2)x]＝1/3 解得：x1＝1，x2＝0（舍去） ∴ 点P的坐标为：(1，6) ② 当∠PAQ＝∠ABC时，△PAQ～△CBA ∵ ∠PGA＝∠ACB＝90°，∠PAQ＝∠ABC ∴ △PGA～△ACB ∴ BC/AG＝AC/PG，即PG/AG＝AC/BC＝3 解得：x1＝-13/3（舍去），x2＝0（舍去） ∴ 此时无符合条件的点P 综上所述，存在点P(1，6) |
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