几何作图及相关的数学发展---序

如果说数量的本质是“多和少”的话，那么在欧几里得几何中，线段的本质就是“长和短”。

包括柏拉图和他的学生欧多克斯在内的古希腊学者，希望用几何的方法来解决代数的问题，从而避免无理数带来的尴尬。利用作图，古希腊的学者们对形如√ 2这样的无理数给出了合理的解释，从而对线段的形式进行了扩充。我们可以证明，通过“尺规作图”得到的数至多是代数数，于是我们有理由对实数理论中的戴德金分割提出质疑。

古希腊人用几何的方法解释了形如√ 2这样的无理数，就认为几何学比代数学更加符合逻辑，因而也更加合理。其实，用几何解释代数的能力是相当有限的。借助几何作图的方法可以讨论代数问题，反之，借助代数的方法也可以讨论几何作图问题。三等分角问题的解决，显示出用代数方法处理几何作图问题的威力。

古希腊的学者重视几何远远胜于重视代数，其主要原因是几何学能够形成让人信服的逻辑体系，而那个时代的代数学则是完全凭借经验的。比如，当时的学者以毕达哥拉斯为代表，普遍认为可以用整数来表达世界的万物，也就是说，他们能够接受分数形式的表达，可是当他们发现√ 2不能表达为分数时，就更加认为代数是不合逻辑的，是不可理喻的，并称这样的数为无理数。另一方面，一些学者包括柏拉图和他的学生欧多克斯，希望用几何的方法来解决代数的问题，从而避免无理数带来的尴尬，这样的研究后来被称为几何代数。如前面所说，许多学者认为，欧几里得《原理》的第5卷就是总结了欧多克斯的工作。

在这一讲，从古希腊学者如何用几何来解释代数的工作开始，我们来回顾数学沿着这个思路发展的情况。用几何解释代数的基本论理工具是几何作图，也可能与此有关，《原理》的五个公设中的前三个公设都是关于几何作图的。另一方面，也是因为这些公设，欧几里得给出了几何作图的限制，即作图的工具只能是无刻度的直尺和圆规。后来人们称这样的作图方法为“尺规作图”，这些仍然是初中几何教学的重要内容。