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内容摘自鱼洋《皮亚杰发生认识论对儿童数学教育的启示》  “画”出来的“明白” ——以“长方体的草图”为例   学生在数学学习中的困难，很大一部分源于空间想象能力的薄弱——面对文字描述无法呈现清晰的图像。一线教师都很清楚提升学生画图分析能力的重要性，但一方面受囿于课时，另一方面也苦于不知如何突破现状。要让学生真正感受到“我要学会这些”，我们就需要给学生时间，需要一节课一节课地去指导、交流、诊断、练习，让学生认识到“这是我必须掌握的知识与技能”。那么，是否可以整合学科内部课时，每学期补入相应的“画”数学学习内容，让“画”不再是点状的散布在某课教学中的直观运用，而成为可操作性强的专题设计呢？这就是“画数学”课程设计萌生的因由。“画数学”的学习内容与教材知识体系密切相关，但它又是独立的、创新的，是教师基于教学经验、基于学生能力发展的需求而自行开发设计的内容，这组专题设计适合配合教材知识的教学进度而展开，希望能引发同行的思考，服务一线教师的日常教学，从而使学生“画”的能力、分析和解决问题的能力得到大的提升。  画长方体草图  一、教学时机 人教版五年级下册，在《长方体、正方体的认识》学习之后。 二、教学目标 1.通过画长方体草图，进一步掌握长方体的面、棱、顶点特征； 2.通过图形的“动态变形”，感受面与体的变化，为后续的解决问题备好解题的直观支架。 三、教学流程 （一）回顾特征 问：这两天，我们认识了长方体，谁来说说它们有什么特征？ 板书：6个面，12条棱，8个顶点。 【设计意图：通过对长方体面、棱、顶点的外部特征回顾，为画草图做好知识准备。】 （二）尝试画长方体 1.明了“草图” （1）那同学们能试着在纸上画一个长方体的草图吗？课件出示草图的要求：数据不必准确，也不必使用作图工具，但是要让别人能看出这是一个长方体，要具备长方体的基本特征。 （2）谁说说画草图的注意点是什么？ 板书：不精确，但具备基本特征。 【设计意图：学生通过对作图“要求”的解读，通过相互交流、讨论，对“草图”的画法达成一定的共识。】 2.学生尝试 白纸上作图。 3.作品展示 展示一：投影呈现1号  （1）指认面、棱、顶点 问：大部分同学都是这样画的，你们能从图上看到长方体的哪些特征？指一指。 追问1：为什么我只看见7个顶点，9条棱，3个面？ （2）添加看不见的“棱” 问：看见的面、棱、顶点，你们画出来了，没看见的怎么表示呢？在内部画线，内部的线最好画成虚线。画在什么位置呢？能在这个长方体模型中指一指吗？ 追问：那这3条棱你能画吗？谁上来添加？边画边说说注意点。（学生边画，边说画的棱与哪条棱要平行）现在请大家在自己刚才画的长方体上也添加上这3条棱。 板书：棱，平行 展示二：投影呈现2号 （1）指认一组组“平行的棱” 问：这位同学画的长方体，和大家现在画的基本一致吗？互相平行的棱，你能一组组指认吗？请你上来指认。 （2）标注字母 请给每条棱标注上字母，长是a，宽是b，高是h。4条a互相平行，4条b互相平行，4条h互相平行。 （3）小结：画长方体草图，每一条棱，用眼睛看过去，要基本符合原本的“平行”与“垂直”的位置关系。 展示三：投影呈现3号  问：那么，大家看这个长方体，你觉得有什么问题？怎么修改？ 【设计意图：通过对其他班级40名学生的前测，发现学生尝试画草图会出来3种情况，其中33个学生画得是看见三个面的长方体 2个学生的学生画得是长方体透视图 5个学生画得是变形的草图 因此，反馈时先呈现大多数学生画的草图引发探讨，结合长方体的特征将1号长方体自然地补充转化成2号长方体，并经由对棱“平行”的认识，修正了3号长方体草图存在的问题。】 （三）再画长方体 （1）归结顺序 观察一个长方体，一般看见3个面，还有3个面隐在内部。那么，这看见的3个面，一般先画哪个面呢？对，一般先画正面的长方形，上面和侧面因为视角关系画的都是平行四边形。  画完看见的3个面，大致的草图就完成了。看不见的面可以想象，也可以用虚线画出来，视自己的需要而定  （2）技能训练 每人动手，按照前面、上面、右面的顺序，快速地画一个长方体草图，并标上a、b、h。 （四）变式拓展 1.叠加 （1）尝试画 如果在这个长方体的上面，又放了一个长方体，你能在刚刚画的这个长方体上添加上去吗？谁能上来边画边说？ （2）讨论，方法小结：还是按照前面、上面、右面的顺序添加。试着再画一个。 （3）观察这个草图，你能发现增加的面是哪些吗？请指认给同桌看。 追问：为什么增加的是这一圈前后左右4个面，不包括上面？ 小结：原来的上面被遮盖，相当于这个面“升”上来了，可以给新增的面画上斜线。 （4）增加的面的大小与哪些棱有关？你需要知道什么数据，就能求出它的面积？只要知道原来长方体的长a、宽b和现在增加的高度c，就能知道增加的面积是2ab+2bc. 板书： 【设计意图：通过尝试、示范、再画，让学生学会画两个长方体的叠加草图。学生此时并没有长方体的表面积概念，但是有“面积”的学习经验，所以可以借助直观的草图来讨论分析增加面积的大小。结合前面的“字母标注”要求，让学生用字母式表达出增加部分的面积，这既是为后续解决表面积问题打下基础，也巩固了学生用字母式表示面积的能力，发展代数意识。】 2.分割 长方体上可以叠加，自然也可以把长方体进行分割。 （1）手势模拟，尝试分割 垂直于长或者说平行于宽，将一个长方体切分成相等的两部分，请你想象着做一下手势，试着画一画。 （2）观察草图，说说分割后，增加的面在哪里？大小和谁一样？怎么表示？（2bh） （3）画垂直于宽、垂直于高，将一个长方体切分成相等的两部分的草图。 对比一下，切分后它们增加的面有什么特点？分别如何计算？（2ab，2ah） 3.实际问题操练 问：如果现在是3个完全相同的正方体拼成一个长方体，已知长方体的棱长总和是100厘米，请问正方体的棱长是几厘米？ 学生画图，尝试。 【设计意图：这个实际问题，将长方体与正方体棱的特点巧妙蕴含，学生通过画图就能顺利解决，让学生进一步感受到画草图的优势。】 （五）全课总结 关于画长方体的草图，你有什么收获？ 当几个长方体或者正方体叠加或者被切分，它们有些棱的长度会变化，有些面的大小会变化，但它们的大小都和原来的长、宽、高有着密切的联系。 四、教学建议 画长方体草图这节课，在实际教学中要把握好几个点： 1.画长方体草图要关注“棱”的“平行” 认识长方体、正方体的过程中，学生对“棱”的感知，普遍弱于对“面”和“顶点”的认识。画长方体草图时，一定不能放宽棱与棱之间要互相“平行”的要求，通过错例对比、一一修正的方式，让学生有意识、有能力把棱画到“目视”平行。 2.草图要重视字母、数字的标注 有些学生总是会把“画”与“分析”脱离，图与问题之间无法细致关联。教师需要不断强调“画草图，画的是数学”的观念——要标注数据，标注已知信息与问题，让数与形始终结合着被呈现。尤其是在拓展变化中，要关注“面”的增加与增加部分的数据表达，为后续表面积问题的各种变式理解打下坚实的直观基础。 3.技能的形成需要一定量的练习 长、正方体的认识，是学生从二维图形开始走向三维图形的学习的起点。作为起始的立体图形画图教学内容，学生的确有一定的基础，然而画长方体草图看似简单却又是后续学习推进的基础。因此，这节课要多让学生尝试，每一次动手画图后教师必须小结、示范、归纳画法，力争让每个学生都会画长方体草图，都能顺利地标出已有的数学信息。
【本文系2017年浙江省宁波市教育科学规划重点课题《第二学段“画数学”课程设计与实践研究》2017YZD069阶段性研究成果。全文发表于《小学教学设计》】 （勾股定理） （多边形的外角之和总是等于360度） （圆周率π） （一弧度就是长度刚好等于半径的一段圆弧所对的圆心角） 本期审核：周青燕 任宁 |
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