【原】费马点的反问题

1、费马点：在三角形所在平面内，到三顶点距离和最小的点。

2、费马点证法：三等力平衡法、费马原理法、旋转60度法。

3、费马点的反问题：限于在三角形内，到三顶点距离和最大的点在哪？

4、答案：最小内角顶点。

5、证法一：（平截线法）

（1）(AP)=x(AM)+(1-x)(AN)（0≤x≤1）同理B、C

（2）|AP|≤ x|AM|+(1-x)|AN|（0≤x≤1）同理B、C

（3）f(P)≤ xf(M)+(1-x)f(N)，f(P)=|AP|+|BP|+|CP|，同理M、N

（4）f(P)≤ f(M)或f(N)，最大值转到边上、再转到角上。

6、证法二：（椭圆弧法）

——f(P)≤ f(M)或f(N)，最大值转到边上、再转到角上。

7、在三角形内，到三顶点距离平方和最大的点在最小内角顶点。

8、在三角形内，到三边距离平方和最大的点在最小内角顶点。

9、在三角形内，到三边距离和最大的点在最小内角顶点。