|
一、整式的乘法 例题 例1：计算： a2·(－a)3·(－a)； xn·xn＋1·xn－1·x； (x－2y)2·(2y－x)3 解：原式＝a2·(－a)3·a1＝－a2·a3·a4 ＝－a9； 原式＝xn＋n＋1＋n－1＋1＝x3n＋1； 方法一：原式＝(x－2y)2·[－(x－2y)]3 ＝－(x－2y)5 方法二：原式＝(2y－x)2·(2y－x)3 ＝(2y－x)5 例2：下列运算中正确的是（ ） A.a2＋a3＝a5 B.a2·a3＝a6 C.a2＋a3＝a D.(a2)3＝a6 解析：a2与a3不是同类项,不能合并,A错误； a2·a3＝a2＋3＝a5≠a6,B错误； a3与a2不是同类项,不能合并,C错误； D正确；(a2)3＝a2×3＝a6。 答案：D 例3：已知am＝4,an＝10,求a2m＋n的值。 解析：将代数式a2m＋n变形为含am、an的代数式,依据是幂的运算法则。 解：a2m＋n＝a2m·an＝(am)2·an＝42×10＝160. 例4：计算：(－x2y)3·3xy2·(2xy2)2； －6m2n·(x－y)3·mn2(y－x)2. 解：原式＝－x6y3×3xy2×4x2y4＝－x9y9. 原式＝－6×m3n3(x－y)5 ＝－2m3n3(x－y)5. 例5：计算：(－2ab)(3a2－2ab－4b2)；5ax(a2＋2a＋1)－(2a＋3)(a－5) 解：原式＝－6a3b＋4a2b2＋8ab3 原式＝5a3x＋10a2x＋5ax－ (2a2－10a＋3a－15) ＝5a3x＋10a2x＋5ax－2a2＋7a＋15 例6：计算：(5mn2－4m2n)(－2mn)； (x＋7)(x－6)－(x－2)(x＋1) 解：原式＝－10m2n3＋8m3n2. 原式＝x2－6x＋7x－42－x2－x＋2x＋2＝2x－40 二、因式分解 例题 例7：下列式子中,从左到右变形属于因式分解的是（ ） A.a2＋4a－21＝a(a＋4)－21 B.a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7) C.(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21 D.a2＋4a－21＝(a＋2)2－25 解析：根据因式分解的概念,只有B选项满足：等号左边是多项式,等号右边是几个整式的积的形式,并且经检验运算过程正确,故选B. 答案 B 例8：若代数式x2＋ax可以分解因式,则常数a不可以取( ) 解析：因为代数式x2＋ax可以分解因式,所以常数a不可以取0. 例9：下面分解因式正确的是（ ） A.x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1 B.(x2－4)x＝x3－4x C．ax＋bx＝（a＋b）x D.m2－2mn＋n2＝(m＋n)2 解析：根据因式分解的概念,A项、B项不是分解因式；C项是提公因式法分解因式；D项虽是分解因式,但错误,应是m2－2m＋n2＝(m－n)2 答案：C 例10：把下列各式分解因式： －16x4y6＋24x3y5－9x2y4； 4(x＋y)2－4(x＋y) ·z＋z2； (a－b)3－2(b－a)2＋(a－b)； 9(x＋a)2＋30(x＋a)(x＋b)＋25(x＋b)2 解：原式＝－x2y4(16x2y2－24xy＋9) ＝－x2y4(4xy－3)2； 原式＝[2(x＋y)]2－2×2(x＋y)·z＋z2 ＝[2(x＋y)－z]2＝（2x＋2y－z）2； 原式＝(a－b)[(a－b)2－2(a－b)＋1] ＝(a－b)[(a－b)－1]2＝(a－b)(a－b－1)2； 原式＝[3(x＋a)]2＋2·3(x＋a)·5(x＋b)＋ [5(x＋b)]2 ＝[3(x＋a)＋5(x＋b)]2＝(3x＋3a＋5x＋5b)2 ＝(8x＋3a＋5b)2. 关键提醒： 因式分解的步骤： (1)先看各项有没有公因式,若有公因式,则先提取公因式. (2)再看能否使用公式法. (3)用分组分解法,即通过分组后再提出公因式或运用公式法来达到分解的目的. (4)因式分解的最后结果,必须是几个整式的积. (5)因式分解的结果必须进行到每个因式不能再分解为止。 因式分解巧妙解题法 例11：分解因式（x＋y）4＋x4＋y4。 解析：常规策略：可直接展开后，再分解因式。 巧妙解法：运用配方法解题 原式＝（x＋y）4＋[（x2＋y2）2－2x2y2] ＝（x＋y）4＋[（x＋y）2－2xy]2－2x2y2 ＝2（x＋y）4－4xy（x＋y）2＋2x2y2 ＝2[（x＋y）2－xy]2 ＝2（x2＋xy＋y2）2。 关键提醒：配方法是一种特殊的添项法，如何拆项或添项，依赖于对题目所给代数式特点的观察和分析。 思考：如何运用配方法分解因式x4＋4？ 例12：分解因式 x2（y－z）＋y2（z－x）＋z2（x－y）。 解析：常规策略：直接展开，用分组分解法解。 巧妙解法：主元法解题，把原式看作x的二次三项式去分解。 原式＝（y－z）x2－（y2－z2）x＋yz（y－z） ＝（y－z）[x2－（y＋z）x＋yz] ＝（y－z）（x－y）（x－z）。 关键提醒：当题目中的字母较多、问题较复杂时，我们可以把某一字母作为主元，而将其他字母作为常数去解决问题。 思考：如何用主元法分解因式 x4＋x2＋2ax＋1－a2。 例13：分解因式 （n－2）（n＋2）（n＋4）n＋12。 解析：常规策略：直接展开，重新组合，但较复杂。 巧妙解法：利用换元法解题。 原式＝（n2＋2n－8）（n2＋2n）＋12。 令n2＋2n＝A， 则原式＝（A－8）A＋12 ＝A2－8A＋12＝（A－2）（A－6） ＝（n2＋2n－2）（n2＋2n－6）。 关键提醒：换元法就是根据代数式中的特征，把其中的某些部分看成一个整体，并用一个新的文字（新元）代替之，从而使这个代数式的结构简化，便于解题。 运用换元法分解因式，是将原多项式中的某一部分项用一个字母进行代替，使原多项式变成引入新变元（或新变元和原来变元混合）的多项式，从而使某些数量关系明朗化，进而便于分解因式。 思考：如何利用换元法分解因式 （x2＋4x＋8）2＋3x（x2＋4x＋8）＋2x2. 例14：分解因式x2＋2xy－8y2＋2x＋14y－3。 解析：常规策略:先用十字相乘法对二次项分解，然后再用十字相乘法处理。 巧妙解法:应用待定系数法解题 因x2＋2xy－8y2＝（x－2y）（x＋4y）， 故设原式＝（x－2y＋a）（x＋4y＋b）。 即x2＋2xy－8y2＋2x＋14y－3 ＝x2＋2xy－8y2＋（a＋b）x＋ （4a－2b）y＋ab，① 解之，得 a＝3，b＝－1， 故原式＝（x－2y＋3）（x＋4y－1）。 关键提醒：待定系数法是先假定一个含有待定系数的恒等式，然后根据各项恒等的性质，列出几个含有待确定系数的方程组，解之求得待定系数的值，或者从方程中消去这些待定系数，求出原来那些已知系数间所存在的关系，从而解决问题。 思考：如何运用待定系数法分解因式 4x2＋4xy－3y2－4x－10y－3。 例15：分解因式 12x2＋14xy－20y2＋20x－11y＋3。 解析：常规策略：一般可采用待定系数法。 巧妙解法：运用双十字相乘法。 原式＝（6x－5y）（2x＋4y）＋ （20x－11y）＋3 ＝（6x－5y＋1）（2x＋4y＋3）。 关键提醒 运用双十字相乘法对 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F型的多项式分解因式的步骤： ①用十字相乘法分解前三项组成的二次三项式； ②在这个十字相乘图右边再画一个“十字”，把常数项分解为两个因数，填在第二个十字的右端，使这两个因数在第二个十字中交叉之积之和，等于原式中含y的一次项的系数E，同时还必须与第一个十字中左列的两个因数交叉相乘，使其交叉之积之和等于原式中含x的一次项的系数D。 思考：如何运用双十字相乘法分解因式 3x2＋4y2＋3z2＋8xy－8yz－10zx。 |
|
|
来自： 当以读书通世事 > 《073-数学（大中小学）》
