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原创： 谈志国 生长数学 近日偶然在群里得到一位老师分享的电子版罗增儒教授著《数学的领悟》一书，读来深有感触颇有共鸣。数学的教与学都要讲究科学深入研究优化方法，若不然很可能你教的或学的是假数学！ 罗教授提出分析问题的基本动作“有用捕捉、有关提取、有效组合”，以及“观察联想、联想转化、猜想论证”的思考过程，与我在所著《中考数学思维方法与解题策略》一书中所归纳的解题的一般方法“完形构造”和解题的基本原则“观察联想、猜测推理、可视化、简单化”非常相似，实质异曲同工。书中提出学习数学重在对数学本质的深度思考、重在对数学思维的深入训练，这些观点也与我之前的相关论述深度相合，这让我感到一种共鸣的喜悦，更加坚定了在这个方向上思考和探索的信念。 下面我就罗教授提出的主要观点结合实例谈谈自己的收获和感想，以飨读者。 一、理解实质，看清本质，优化素质：我们无法教会学生所有的习题，但可以通过有限道题目的练习，让学生领悟掌握能解决无限问题的数学思维方法。 1.观察一元二次方程的求根公式，有什么感想和发现？这个问题也是我常问学生的，目的是培养学生的感悟能力和观察思考能力。 （1）公式具有和谐之美：包含所学的所有运算方式：加、减、乘、除、乘方、开方，是各类运算的完美统一。 （2）公式具有抽象性和一般性，方程的不同在于各项系数不同，因而只需要三个系数的值就可以确定方程的解。 （3）公式中有开方运算，所以根号内的△值决定了根的情况：△为负时无实数根，△为0时两根相同，△为正时两根不等。 （4）公式中只有一项符号相反，两根之和可消项、两根之积可用平方差公式，两种运算都可以得到比较简单的形式且只与其中两个系数有关，因而常常用到这两个式子。 我在教学中还常提到几种运算法则与运算律的联系，品味起来富有规律和美感，可以加深对数学本质的理解，体验数学的秩序之美。如果把运算分为三级：加减、乘除、乘方开方，那么积的乘方、商的乘方、积的开方、商的开方都可以看成是乘法分配律的拓展，上一级运算对下一级运算存在分配律，而(a+b)2≠a2+b2是因为乘方对加法相差二级运算。 再比如，等差数列与等比数列的表达式结构完全相同，只是后者比前者高一级运算，式中的加升级为乘、乘升级为乘方，这样记住一个公式可以很快类推得到另一个。 再如几种图形的面积公式可以归为一个，梯形面积公式最具一般性，上底为０就是三角形，上底与下底相等就是平行四边形，腰与底垂直时就变成矩形，腰与底垂直且相等时就变成正方形，这样梯形公式就可以代表这几个常见图形的面积求法，并且梯形面积公式还可以看成等差数列的求和公式。 ２.正方形ABCD的中心为O，同样大的正方形OEFG绕点O旋转，试证明重叠部分面积为定值。 通常的思考方法是先把图形放在特殊位置，如OE⊥AB时，OE经过A点时，易知重叠部分面积是正方形面积的1/4，证明时通过构造全等把图形向这两种特殊情形转化，如下图： 上述处理方法是很有用的，利用图形的特殊位置作为桥梁，把一般情形向特殊情形转化，这种思考方式对解决很多问题都是适用的。但是，就此结束仍没有触及问题的本质：上述两种转化方法的根本是什么？定值产生的原因是什么？稍加观察思考发现，两种转化方式是一致的，都是把图形中的一部分旋转90度，为什么旋转90度？显然是因为正方形的旋转不变性，正方形绕中心旋转90度与自身重合，图中的阴影四边形对应的中心角是90度，所以它的面积为正方形面积的1/4。由此推而广之，若正三角形的中心作120度的角，则所截四边形为正三角形面积的1/3；若正五边形的中心作72度的角，则所截四边形为正五边形面积的1/5；若正六边形的中心作60度的角，则所截四边形为正六边形面积的1/6；……。
上述图形的证明方法仍然与上题一致，构造特殊边（中心与顶点连线或中心到边的垂线段），并旋转与中心角相等的度数，这一组问题实质是一个问题。这个问题还可以简化成“邻边相等对角互补”模型，如下图，AB=AD，AC=2，∠BAD=120°，∠BCD=60°，求四边形ABCD的面积。
解法完全相同，如下图，把△ACD旋转至△AEB，把原四边形转化为△AEC，这样变成已知顶角和腰长的等腰三角形即可求面积。
解题方法又与“共点等线用旋转”的一般规律联系起来，实质也是“一转成双·手拉手”模型。
方法一：条件来看a、b、c的值无法确定，取特殊值a=b=c=1，代入得原式=1。
从以上三种方式看，法一不具有一般性和严密性，法二方法虽好但难以想到，法三最具通用性，体现解此类问题的本质：消元！此法可以把任意一个字母用其它两个字母代替即可化简求出结果，而法二的实质也是通过分式变形进行消元使之只含两个字母才完成解题的。 4.求点P（m-2，m+2）到原点的最短距离. 代数方法：OP2=(m-2)2+(m+2)2，求得OP的最小值为2√2。 几何方法：动点P所在直线为y=x+4，点O到直线的距离为2√2。 数学的代数形式相对抽象，而几何形式直观形象，是对现实物理世界的刻画，比如欧氏几何可以应用于小尺度的近似平直空间，适用于牛顿力学，而黎曼几何可以应用于大尺度的弯曲宇宙空间，是相对论的数学工具。学习数学要把数与形的两方面相结合，才能更深入地理解数学知识和数学原理。 |
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