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1 肖博数学小题专练·(一) 集合与常用逻辑用语 一、选择题 1.(2017·浙江高考)已知集合 P={x|-1 那么 P∪Q=( ) A.(-1,2) B.(0,1) C.(-1,0) D.(1,2) 答案 A 解析 取 P，Q 的所有元素，得 P∪Q=(-1,2)。 2.(2017·天津高考)设集合 A={1,2,6}，B={2,4}，C={x∈R|- 1≤x≤5}，则(A∪B)∩C=( ) A.{2} B.{1,2,4} C.{1,2,4,6} D.{x∈R|-1≤x≤5} 答案 B 解析 由题意知 A∪B={1,2,4,6}，∴(A∪B)∩C={1,2,4}。故选 B。 3.(2017·江西南昌一模)已知全集 U=R，集合 A={x|y=lgx}， 集合 B={y|y= x+1}，那么 A∩(∁UB)=( ) A.∅ B.(0,1] C.(0,1) D.(1，+∞) 答案 C 解析 由题知，A={x|y=lgx}={x|x>0}=(0，+∞)，B={y|y= x +1}={y|y≥1}=[1，+∞)，所以 A∩(∁UB)=(0，+∞)∩(-∞，1) =(0,1)。 4.(2017·广东惠州调研考试)已知全集 U=R，集合 A= {1,2,3,4,5}，B={x∈R|x≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为( ) 2 A.{0,1,2} B.{0,1} C.{1,2} D.{1} 答案 D 解析 ∵A={1,2,3,4,5}，B={x∈R|x≥2}，∴∁UB=∁RB={x∈ R|x<2}，图中阴影为 A∩(∁UB)={1}，故选 D。 5.命题“∃x0≤0，x 2 0≥0”的否定是( ) A.∀x≤0，x 2<0 B.∀x≤0，x 2≥0 C.∃x0>0，x 2 0>0 D.∃x0<0，x 2 0≤0 答案 A 解析 特称命题的否定是将存在量词改成全称量词，再将结论否 定，故选 A。 6.“x>0”是“x 2+x>0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由 x 2+x>0，得 x>0 或 x<-1，故“x>0”是“x 2+x>0”的充 分不必要条件。 7.(2017·石家庄质量检测(二))在△ABC 中，角 A，B，C 的对边 分别为 a，b，c，则“sinA>sinB”是“a>b”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 3 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C 解 析 设 △ ABC 外 接 圆 的 半 径 为 R ， 若 sinA>sinB ， 则 2RsinA>2RsinB，即 a>b;若 a>b，则 a 2R > b 2R，即 sinA>sinB，所以在△ ABC 中，“sinA>sinB”是“a>b”的充要条件，故选 C。 8.(2017·广东惠州调研考试)设函数 y=f(x)，x∈R，“y=|f(x)| 是偶函数”是“y=f(x)的图象关于原点对称”的( ) A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C 解析 设 f(x)=x 2，y=|f(x)|是偶函数，但是不能推出 y=f(x)的图 象关于原点对称。反之，若 y=f(x)的图象关于原点对称，则 y=f(x) 是奇函数，这时 y=|f(x)|是偶函数，故选 C。 9.(2017·天津高考)设 θ∈R，则“ θ- π 12 < π 12”是“sinθ< 1 2”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由 θ- π 12 < π 12，得 0<θ< π 6。由 0<θ< π 6，可得 0 1 2。因 为 sinθ< 1 2，所以-7 6 π+2kπ<θ<2kπ+ π 6，k∈Z，推不出 0<θ< π 6，所以 4 “ θ- π 12 < π 12”是“sinθ< 1 2”的充分而不必要条件。故选 A。 10.(2017·九江一模)已知函数 f(x)= 2 x，x<0， m-x 2，x≥0， 给出下列 两个命题：命题 p：∃m∈(-∞，0)，方程 f(x)=0 有实数解;命题 q： 当 m= 1 4时，f(f(-1))=0，则下列命题为真命题的是( ) A.p∧q B.(綈 p)∧q C.p∧(綈 q) D.(綈 p)∧(綈 q) 答案 B 解析 ∵函数 f(x)= 2 x，x<0， m-x 2，x≥0， 当 x<0 时，f(x)=2 x∈(0,1)， 不存在满足 f(x)=0 的 x 值;当 x≥0 时，f(x)=0，即 m=x 2∈[0，+ ∞)，故命题 p 为假命题。当 m= 1 4时，f(f(-1))=f 1 2 =0，∴命题 q 为 真命题，故命题 p∧q，p∧(綈 q)，(綈 p)∧(綈 q)均为假命题，(綈 p)∧q 为真命题，故选 B。 11.(2017·湖北七市联考)已知圆 C：(x-1)2+y 2=r 2 (r>0)。设条 件 p：0 距离为 1，则 p 是 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C 解析 圆 C：(x-1)2+y 2=r 2的圆心(1,0)到直线 x- 3y+3=0 的 5 距离 d= |1- 3×0+3| 1 2+( 3) 2 =2。当 0 点到直线的距离为 1;当 r=1 时，直线与圆相离，圆上只有 1 个点到 直线的距离为 1;当 1 直线的距离为 1;当 r=2 时，直线与圆相切，此时圆上有 2 个点到直 线的距离为 1;当 2 线的距离为 1。综上，当 0 y+3=0 的距离为 1，由圆 C 上至多有 2 个点到直线 x- 3y+3=0 的距离为 1，可得 0 12.(2017·长望浏宁联考)已知集合 M={(x，y)|y=f(x)}，若对于 任意实数对(x1，y1)∈M，存在(x2，y2)∈M，使 x1x2+y1y2=0 成立，则 称集合 M 是“垂直对点集”。 给出下列四个集 合： ①M= (x，y)|y= 1 x 2 ;②M={(x，y)|y=sinx+1};③M={(x，y)|y=2 x-2}; ④M={(x，y)|y=log2x}。其中是“垂直对点集”的序号是( ) A.②③④ B.①②④ C.①③④ D.①②③ 答案 D 解析 根据题意，若集合 M={(x，y)|y=f(x)}满足对任意实数对 A(x1，y1)∈M，存在 B(x2，y2)∈M，使得 x1x2+y1y2=0 成立，可得OA→ ⊥OB→，所以若 M 是垂直对点集，那么在 M 图象上任取一点 A，过原 点与直线 OA 垂直的直线 OB 总与函数图象相交于点 B。①中：y= 1 x 2 图象在一、二象限，关于 y 轴对称，所以对于任意点 A，都存在点 B， 使 OB⊥OA，①符合题意;②中，y=sinx+1，画图象可知，必有 OB 6 ⊥OA，②符合题意;③中，y=2 x-2，过点(0，-1)，图象两边无限 延展，由图象分析可知必有 OB⊥OA;④中，对于函数 y=log2x，取 函数图象与 x 轴的交点(1,0)为 A 点，则过原点与 OA 垂直的直线为 y 轴，由 y=log2x 的性质可知，函数图象与 y 轴无交点，即不存在 B 点， 使得OA→ ⊥OB→，故④不符合题意，故选 D。 二、填空题 13.(2017·江苏高考)已知集合 A={1,2}，B={a，a 2+3}。若 A∩B ={1}，则实数 a 的值为________。 答案 1 解析 因为 a 2+3≥3，所以由 A∩B={1}得 a=1，即实数 a 的 值为 1。 14.设命题 p：∀a>0，a≠1，函数 f(x)=a x-x-a 有零点，则綈 p：_______________________________________________________。 答案 ∃a0>0，a0≠1，函数 f(x)=a x 0-x-a0没有零点 解析 全称命题的否定为特称命题，綈 p：∃a0>0，a0≠1，函数 f(x)=a x 0-x-a0没有零点。 15.已知命题 p：∀x∈R，x 2-a≥0，命题 q：∃x0∈R，x 2 0+2ax0 +2-a=0。若命题“p∧q”是真命题，则实数 a 的取值范围为 ________。 答案 (-∞，-2] 解析 由已知条件可知p 和q均为真命题，由命题p为真得a≤0， 由命题 q 为真得 a≤-2 或 a≥1，所以 a≤-2。 16.给出下列四个命题： ①命题“∀x∈R，cosx>0”的否定是“∃x0∈R，cosx0≤0”; 7 ②若 0 2+a x-3 只有一个零点; ③函数 y=2 2sinxcosx 在 - π 4， π 4 上是单调递减函数; ④若 lga+lgb=lg(a+b)，则 a+b 的最小值为 4。 其中真命题的序号是________。 答案 ①④ 解析 由全称命题的否定是特称命题知①为真命题。在同一直角 坐标系内作出 y=3-x 2，y=a x (0 数图象有两个交点，故②为假命题。由 y=2 2sinxcosx= 2sin2x，又 x∈ - π 4， π 4 时，2x∈ - π 2， π 2 ，故 y=2 2sinxcosx 在 - π 4， π 4 上是增 函数，因此③为假命题。④中由 lga+lgb=lg(a+b)知，ab=a+b 且 a>0，b>0。又 ab≤ a+b 2 2，所以令 a+b=t(t>0)，则 4t≤t 2，即 t≥4， 因此④为真命题。 |
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