高中数学大题专练二十二 ·作业 选修 4-5 不等式选讲

肖博数学大题专练二十二 ·作业 选修 4-5 不等式选讲

A 级 基础达标

1.(2017·兰州市诊断)已知函数 f(x)= |x+1|+|x-3|-m的定义

域为 R。

(1)求 m 的取值范围;

(2)若 m 的最大值为 n，解关于 x 的不等式：|x-3|-2x≤2n-4。

解 (1)因为函数 f(x)的定义域为 R，

所以|x+1|+|x-3|-m≥0 恒成立，

设函数 g(x)=|x+1|+|x-3|，

则 m 不大于函数 g(x)的最小值，

又|x+1|+|x-3|≥|(x+1)-(x-3)|=4，

即 g(x)的最小值为 4。

所以 m≤4。

(2)当 m 取最大值 4 时，原不等式等价于

|x-3|-2x≤4，

所以



x≥3，

x-3-2x≤4

或





x<3，

3-x-2x≤4，

解得 x≥3 或-1

3≤x<3。

所以原不等式的解集为











x







x≥-

1

3 。

2.(2017·湖北七市联考)已知函数 f(x)=|x-2|+2，g(x)=m|x|(m

∈R)。

(1)解关于 x 的不等式 f(x)>5;

2

(2)若不等式 f(x)≥g(x)对任意 x∈R 恒成立，求 m 的取值范围。

解 (1)由 f(x)>5，得|x-2|>3，

∴x-2<-3 或 x-2>3，

解得 x<-1 或 x>5。

故原不等式的解集为{x|x<-1 或 x>5}。

(2)由 f(x)≥g(x)，得|x-2|+2≥m|x|对任意 x∈R 恒成立，

当 x=0 时，不等式|x-2|+2≥m|x|，

即为|x-2|+2≥0，显然恒成立，

当 x≠0 时，问题等价于 m≤

|x-2|+2

|x| 对任意非零实数恒成立，

∵

|x-2|+2

|x| ≥

|x-2+2|

|x| =1，

∴m≤1，即 m 的取值范围是(-∞，1]。

3.已知函数 f(x)=|x-2|+|2x+a|，a∈R。

(1)当 a=1 时，解不等式 f(x)≥4;

(2)若存在 x0，使 f(x0)+|x0-2|<3 成立，求 a 的取值范围。

解 (1)当 a=1 时，f(x)=|x-2|+|2x+1|。

由 f(x)≥4，得|x-2|+|2x+1|≥4。

当 x≥2 时，不等式等价于 x-2+2x+1≥4，解得 x≥

5

3，所以 x≥2;

当-1

2

即 x≥1，所以 1≤x<2;

当 x≤-

1

2时，不等式等价于 2-x-2x-1≥4，

解得 x≤-1，所以 x≤-1。

3

所以原不等式的解集为{x|x≤-1 或 x≥1}。

(2)应用绝对值不等式可得 f(x)+|x-2|=2|x-2|+|2x+a|=|2x-4|

+|2x+a|≥|2x+a-(2x-4)|=|a+4|。

因为存在 x0，使 f(x0)+|x0-2|<3 成立，

所以(f(x)+|x-2|)min<3，

所以|a+4|<3，解得-7

1)。

4.已知 x，y∈R+，x+y=4。

(1)要使不等式1

x

+

1

y

≥|a+2|-|a-1|恒成立，求实数 a 的取值范

围;

(2)求证：x

2+2y

2≥

32

3 ，并指出等号成立的条件。

解 (1)因为 x，y∈R+，x+y=4，所以x

4+

y

4=1。于是，应用基

本不等式，得1

x

+

1

y=









1 

x

+

1

y 









x 

4+

y

4 =

1

2+

1

4









y 

x

+

x

y

≥

1

2+

1

2

y

x

·

x

y=1，当

且仅当 x=y=2 时取等号。要使不等式1

x

+

1

y

≥|a+2|-|a-1|恒成立，

只需不等式|a+2|-|a-1|≤1 成立。

构造函数 f(a)=|a+2|-|a-1|，则等价于解不等式 f(a)≤1。

因为 f(a)=









-3，a≤-2，

2a+1，-2

3，a≥1，

所以解不等式 f(a)≤1，得

a≤0。

所以实数 a 的取值范围为(-∞，0]。

4

(2)证明：因为 x，y∈R+，x+y=4，所以 y=4-x(0

x

2+2y

2=x

2+2(4-x)

2=3x

2-16x+32=3













x-

8

3

2+

32

3 ≥

32

3 ，当 x=

8

3，y

=

4

3时等号成立。

B 级 能力提升

5.(2017·河南洛阳第一次统考)已知 f(x)=|2x-1|-|x+1|。

(1)将 f(x)的解析式写成分段函数的形式，并作出其图象;

(2)若 a+b=1，对∀a，b∈(0，+∞)，

1

a

+

4

b≥3f(x)恒成立，求 x

的取值范围。

解 (1)由已知，得 f(x)=











-x+2，x<-1，

-3x，-1≤x≤

1

2，

x-2，x>

1

2，

函数 f(x)的图象如图所示。

(2)∵a，b∈(0，+∞)，且 a+b=1，

∴

1

a

+

4

b=









1 

a

+

4

b

(a+b)=5+









b 

a

+

4a

b ≥5+2

b

a

·

4a

b =9，当且仅当

b

a=

4a

b ，即 a=

1

3，b=

2

3时等号成立。

∵

1

a

+

4

b≥3(|2x-1|-|x+1|)恒成立，

5

∴|2x-1|-|x+1|≤3，

结合图象知-1≤x≤5，

∴x 的取值范围是[-1,5]。

6.(2017·陕西省教学质量检测(一))已知函数 f(x)=2|x+a|-|x-

1|(a>0)。

(1)若函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积的最小值为 4，求

实数 a 的取值范围;

(2)对任意的 x∈R 都有 f(x)+2≥0，求实数 a 的取值范围。

解 (1)f(x)=









-x-2a-1，x<-a，

3x+2a-1，-a≤x<1，

x+2a+1，x≥1，

如图所示，函数 f(x)的图象与 x 轴围成的△ABC，求得

A(-2a-1,0)，B















 1-2a

3 ，0 ，C(-a，-a-1)。

∴S△ABC=

1

2













 1-2a

3 -(-2a-1) ×|-a-1|=

2

3

(a+1)2≥4(a>0)，解

得 a≥ 6-1。

(2)由(1)中图，可知 f(x)min=f(-a)=-a-1，

对任意的 x∈R 都有 f(x)+2≥0，

6

即(-a-1)+2≥0，解得 0