高考数学 难点7 奇偶性与单调性（一）习题与答案

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●歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★)下列函数中的奇函数是( )

A.关于x轴对称 B.关于y轴对称

C.关于原点对称 D.关于直线x=1对称

二、填空题

3.(★★★★)函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_________.

4.(★★★★★)若函数f(x)=ax³+bx²+cx+d满足f(0)=f(x₁)=f(x₂)=0 (0<x₁<x₂),且在［x₂,+∞

上单调递增，则b的取值范围是_________.

三、解答题

(1)证明：函数f(x)在(－1，+∞)上为增函数.

(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.

(1)f(x)是奇函数.

(2)f(x)是周期函数，且有一个周期是4a.

8.(★★★★★)已知函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,

(1)求证：f(x)是单调递增函数；

(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.

参考答案

难点磁场

∴f(x₁)－f(x₂)＜0,即f(x₁)＜f(x₂)

∴f(x)在(0,+∞)上是增函数

证法二：由f(x)=e^x+e^－x，得f′(x)=e^x－e^－x=e^－x·(e^2x－1).当x∈(0,+∞)时，e^－x>0,e^2x－1>0.

此时f′(x)>0,所以f(x)在［0，+∞)上是增函数.

歼灭难点训练

一、1.解析：f(－x)=

=－f(x)，故f(x)为奇函数.

答案：C

2.解析：f(－x)=－f(x),f(x)是奇函数，图象关于原点对称.

答案：C

二、3.解析：令t=|x+1|,则t在(－∞,－1】

上递减，又y=f(x)在R上单调递增，∴y=f(|x+1|)在(－∞,－1】

上递减.

答案：(－∞,－1】

4.解析：∵f(0)=f(x₁)=f(x₂)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x－x₁)(x－x₂)=ax³－a(x₁+x₂)x²+ax₁x₂x，

∴b=－a(x₁+x₂),又f(x)在［x₂,+∞）

单调递增，故a>0.又知0＜x₁＜x,得x₁+x₂>0,

∴b=－a(x₁+x₂)＜0.

答案：(－∞,0）

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