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难得一见的初高中衔接类型题目 【题目】 （2018·绥化）已知直线y=1/2x 2分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=1/2x² mx﹣2经过点A，和x轴的另一个交点为C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点D是抛物线上的动点，且在第三象限，求△ABD面积的最大值； （3）如图2，经过点M（﹣4，1）的直线交抛物线于点P、Q，连接CP、CQ分别交y轴于点E、F，求OE·OF的值． 备注：抛物线顶点坐标公式（-b/2a，(4ac-b²)/4a） 【答案】 解：（1）把y＝0代入y=1/2x 2得：0=1/2x 2，解得：x＝﹣4， ∴A（﹣4，0）． 把点A的坐标代入y=1/2x² mx﹣2得：m=3/2， ∴抛物线的解析式为y=1/2x² 3/2x﹣2． （2）过点D作DH∥y轴，交AB于点H， 设D（n，1/2n² 3/2n﹣2），H（n，1/2n 2）． ∴DH＝（1/2n 2）﹣（1/2n² 3/2n﹣2）=-1/2（n 1）² 9/2． ∴当n＝﹣1时，DH最大，最大值为9/2， 此时△ABD面积最大，最大值为1/2×9/2×4＝9． （3）把y＝0代入 y=1/2x² 3/2x﹣2，得：x² 3x﹣4＝0，解得：x＝1或x＝﹣4， ∴C（1，0）． 设直线CQ的解析式为y＝ax﹣a，CP的解析式为y＝bx﹣b． ∴y=ax-a，y=1/2 x² 3/2 x-2，解得：x＝1或x＝2a﹣4． ∴xQ＝2a﹣4． 同理：xP＝2b﹣4． 设直线PQ的解析式为y＝kx b，把M（﹣4，1）代入得：y＝kx 4k 1． ∴y=kx 4k 1，y=1/2 x² 3/2 x-2． ∴x² （3﹣2k）x﹣8k﹣6＝0， ∴xQ xP＝2a﹣4 2b﹣4＝2k﹣3，xQ·xP＝（2a﹣4）（2b﹣4）＝﹣8k﹣6， 解得：ab=-1/2． 又∵OE＝﹣b，OF＝a， ∴OE·OF＝﹣ab=1/2． 【总结】 本题还该出了顶点坐标公式，确实比较够意思。综观标准答案，发现竟然没有用到这个公式，不知道是什么意思呢，哈哈。 求最值，用顶点坐标公式没错，不过大部分人还是习惯了用配方法，连给官方答案的老师都是如此，何况其他人呢。 题（2）是比较常见的面积问题，大部分同学可能都会流行的铅垂高法。但是越是这种经典的典型题目，越有多种解法。希望下次同学们看到了，不要失误哦。 下面是几篇面积问题的相关文章，仅供参考。 二次函数图象中的面积问题 坐标系中三角形面积公式 面积求法大全——中考压轴题分析 题（3）难度不是很大，偏向于解析几何的范畴，与近几年一直流行的存在性问题略有差异。 过定点（4,1）的直线，我们就要设出它的解析。 与函数图象的交点，我们就需要联立解析式，构造方程组。 利用韦达定理。 求OE·OF的定值，则需要用代数式表示出它们。 本题其实还是考察了二元二次方程组的问题，甚至出现了更多的未知数。要说超纲，其实也算超纲哈。 当然，为了初高中衔接，这道题目还是不错的。 |
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