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数学 让生活更有趣 尺规作图是古希腊几何学中的一项重要内容。早在公元前5世纪，古希腊数学家们就已经习惯于用不带刻度的直尺和圆规来作图了。在他们看来，直线和圆是可以信赖的最基本的图形，而直尺和圆规是画两种图形的工具，只有用尺规做出的图形才是可信的。 在历史上，明确提出作图只能使用直尺和圆规的人，首推伊诺皮迪斯，他在公元前465年前后发现，只用没有刻度的直尺和圆规，就可以过已知直线的一个点上作一个角与已知角相等，这件事的重要性在于，它启示人们在尺规的限制下，从理论上去解决这个问题。 五种基本尺规作图 1、作一条线段等于已知线段； 2、作已知线段的垂直平分线； 3、作已知角的角平分线； 4、 作一个角等于已知角； 5、过一点作已知直线的垂线； 1、作一条线段等于已知线段 已知：如图，线段a . 求作：线段AB，使AB = a . 作法： （1） 作射线AP； （2） 在射线AP上截取AB=a . 则线段AB就是所求作的图形。 2、作已知线段的垂直平分线  已知：如图，线段MN. 求作：点O，使MO=NO 作法： （１）分别以M、N为圆心，大于MN的一半为半径画弧，两弧相交于P，Q； （２）连接PQ交MN于O． 则直线PQ就是所求作的ＭＮ的垂直平分线 3、作已知角的角平分线  已知：如图，∠AOB， 求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。 作法： （1）以O为圆心，任意长度为半径画弧， 分别交OA，OB于M，N； （2）分别以M、Ｎ为圆心，大于线段MN一半为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ； （3） 作射线OP。 则射线OP就是∠AOB的角平分线。 4、作一个角等于已知角 作法： （1）作射线O’A’； （2）以O为圆心，任意长度为半径画弧，交OA于M，交OB于N； （3）以O’为圆心，以OM的长为半径画弧，交O’A’于M’； （4）以M’为圆心，以MN的长为半径画弧，交前弧于N’； （5）连接O’N’并延长到B’。 则∠A’O’B’就是所求作的角。 5.1、经过直线上一点作垂线  已知：如图，P是直线AB上一点。 求作：直线CD，是CD经过点P，且CD⊥AB。 作法： （1）以P为圆心，任意长为半径画弧，交AB于M、N； （2）分别以M、N为圆心，大于MN长度的一半为半径画弧，两弧交于点Q； （3）过D、Q作直线CD。 则直线CD是求作的直线。 5.2、经过直线外一点作垂线  已知：如图，直线AB及外一点P。 求作：直线CD，使CD经过点P， 且CD⊥AB。 作法： （1）以P为圆心，任意长为半径画弧，交AB于M、N； （2）分别以M、N圆心，大于MN长度的一半为半径画弧，两弧交于点Q； （3）过P、Q作直线CD。 则直线CD就是所求作的直线。 三大史诗级难题 传说中，这问题的来源，可追溯到公元前429年，一场瘟疫袭击了希腊提洛岛，造成四分之一的人口死亡。岛民们推派一些代表去神庙请示阿波罗的旨意，神指示说：要想遏止瘟疫，得将阿波罗神殿中那正立方的祭坛加大一倍。人们便把每边增长一倍，结果体积当然就变成了8倍，瘟疫依旧蔓延；接着人们又试着把体积改成原来的2倍，但形状却变为一个长方体……第罗斯岛人在万般无奈的情况下，只好鼓足勇气到雅典去求救于当时著名的学者柏拉图。 公元前5世纪，古希腊哲学家安那萨哥拉斯因为发现太阳是个大火球，而不是阿波罗神，犯有“亵渎神灵罪”而被投入监狱。他被判处死刑，在等待执行的日子里，夜晚，安那萨哥拉斯睡不着。圆圆的月亮透过正方形的铁窗照进牢房，他对方铁窗和圆月亮产生了兴趣。他不断变换观察的位置，一会儿看见圆比正方形大，一会儿看见正方形比圆大。最后他说：“好了，就算两个图形面积一样大好了。”安那萨哥拉斯把“求作一个正方形，使它的面积等于已知的圆面积”作为一个尺规作图问题来研究。起初他认为这个问题很容易解决，谁料想他把所有的时间都用上，也一无所获。 经过好朋友、政治家伯里克利的多方营救，安那萨哥拉斯获释出狱。他把自己在监狱中想到的问题公布出来，许多数学家对这个问题很感兴趣，都想解决，可是一个也没有成功。这就是著名的“化圆为方问题”。 纪元前五、六百年间希腊的数学家们就已经想到了二等分任意角的方法，正像我们在几何课本或几何画中所学的：以已知角的顶点为圆心，用适当的半径作弧交角两的两边得两个交点，再分别以这两点为圆心，用一个适当的长作半径画弧，这两弧的交点与角顶相连就把已知角分为二等分。二等分一个已知角既是这么容易，很自然地会把问题略变一下：三等分怎么样呢？这样，这一个问题就这么非常自然地出现了。这就是著名的“三等分角问题”。 |
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