求二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴方程、最大值或最小值等都需要运用配方法将二次函数化为y=a(x-h)2+k的形式,其中配方是学习中的难点,这里的配方虽然与一元二次方程的配方有点类似,但不尽相同,不少初学者茫然无措.现将配方过程归纳为如下口诀,方便大家的学习. 二次系数先提取,常数暂且往后移; 一次系数取一半,平方以后再加减; 前三配方四相乘,最后再算常数项. 口诀解析: '二次系数先提取,常数暂且往后移'的意思是: 把y=ax2+bx+c的二次项系数a作为公因式提取,常数项c放到括号外的后面,化为: '一次系数取一半,平方以后再加减'的意思是: 在括号内的x2+bx/a,取一次项的系数b/a的一半b/(2a),加上和减去它的平方[b/(2a)]2,化为: '前三配方四相乘'的意思是: 具体运用看如下例子: 例1把y=2x2-3x-5化为y=a(x-h)2+k的形式. 解:'二次系数先提取,常数暂且往后移',得: y=2(x2-3x/2)-5; '一次系数取一半,平方以后再加减'得: y=2(x2-3x/2+9/16-9/16)-5; '前三配方后相乘',得 y=2(x-3/2)2-9/16×2-5; '再加后面常数项',得: y=2(x-3/2)2-49/8. 例2 用配方法求二次函数y=-x2+4x+1的图象顶点坐标. 解:根据配方口诀,得: y=-( x2-4x)+1 =-( x2-4x+4-4)+1 =-[ (x-2)2-4]+1 =-(x-2)2-4×(-1)+1 =-(x-2)2+5. 所以顶点坐标为(2,5). 例3 求二次函数y=3x2/2+9x-7的最小值. 解:根据配方口诀,得: y=3/2(x2+6x)-7 =3/2(x2+6x+9-9)-7 =3/2[(x+3)2-9]-7 =3/2(x+3)2-9×3/2-7 =3/2(x+3)2-41/2, 因为a=3/2>0,所以当x=-3时,y最小值=-41/2. 例4求抛物线y=ax2-4ax+1的对称轴方程. 解:y=a(x2-4x)+1 =a(x2-4x+4-4)+1 =a[(x-2)2-4]+1 =a(x-2)2-4a+1, 所以对称轴方程为x=2. |
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