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“数之法，出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为句广三，股脩四，径隅五。既方其外，半之一矩，环而共盤，得成三、四、五。两矩共长二十有五，是谓积矩……” 在《周髀算经》中，商高在回答周公所问的“古者庖羲（是如何）立周天历度”这个问题时所说的这段话中，怎么看都包含着勾股定理的证明方法，既使对于由疑古派培养出来的抛弃了孔子所倡导的举一反三、钩深致远的学习方法的现代学者，也能看出这段话包含了对钩3股4弦5的这个特例的证明。严格依照这段话进行翻译，而得出勾3股4弦5这个特例的证明方法的文章，网上很多，读者可自行搜索，我就不掠人之美了。 在古文献中，由于传抄者的水平能力等因素的限制，越是逻辑推演的紧要之处，越容易产生脱简、错简、漏字、添字等现象，成为艰涩之文。在这里，我想向读者贡献一种考虑到这段经文在流传过程中可能产生的脱简、错简、漏字等因素，我所认为的这段经文的更加通顺一些的一种句读顺序与解读，不一定对，还请读者批评指正。 “数之法，出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。 故折矩，以为句广三，股脩四，径隅五……环而共盤……。既方其外，半之一矩……两矩共长二十有五，是谓积矩……得成三、四、五……” 可以想象得到，商高一定是边画边与周公说这段话的。 其中的“数之法，出于圆方，圆出于方，方出于矩”，我认为与勾股定理证明的关系不大，故暂时不译，留待以后我们讲方圆关系的时候再译。 “九九八十一”即九九算，指乘法口诀、乘法，在这里指方形的面积是长乘宽。“矩出于九九八十一”，即矩有勾股定理的性质，这一性质源于方形的面积等于长乘宽。方形的面积等于长乘宽是勾股定理得以成立的前提，勾股定理的证明方法虽有数百种之多，但所有的勾股定理的证明方法，都离不开这一前提。 “故折矩，以为句广三，股脩四，径隅五……环而共盤……”在这里，“故”应译作例如，“隅”通寓，“径隅五”后面的“……”省略了折四个这样的矩的意思，（如图1-1），“环而共盤”后面的“……”省略了这四个矩的钭边则构成了一个正方形之意。这段经文的意思是，例如，为了计算的方便，我们可以把矩的勾折成三，股折成四，用虚线联接这个矩的两个端点AC，那么这样的矩的钭边AC所寓含的长度则一定是五。钭边AC的长度为什么一定是五呢？下面，我们来证明一下：我们可以折四个这样的矩（如图1-1、图1-2、图1-3、图1-4），把这四个矩摆成图2的形式，就构成了一个以这四个矩的钭边AC、DF、GI、JL为边长的正方形。 “既方其外，半之一矩。”这段话是前面所说的“方出于矩”的逆过程，是在说如何从方中找矩。在这四个矩的钭边已经在外围构成了一个正方形之后，就可以以这个正方形的任意的一条对角线为分割线，把这个正方形分成两个部分，那么，每一个部分也就都变成了一个“矩”，一个正方形可以分成两个边长相等的矩。 “……两矩共长二十有五，是谓积矩……得成三、四、五。”，这段话是前面所说的“矩出于九九八十一”的逆过程，是在说如何从九九八十一中找矩，前面的“……”省略了计算出这个正方形的面积的过程。图2中每个矩与其钭边所构成的三角形的面积都是勾乘股除以2，即，那么，四个矩在这个正方形中所占的面积就是，而正方形KBEH的边长都是股减勾，即，所以四个矩的钭边所组成的这个正方形的面积就是，也就是“两矩共长二十有五，是谓积矩”。“是谓积矩”后面的“……”省略了从这个大方形的面积求其边长的过程，由于正方形的面积等于边长的平方，所以这个大正方形的边长为，而这个大正方形的边长本是勾三、股四所构成的矩的钭边，所以勾三、股四所构成的矩具有勾三、股四、弦五的性质。
可以看出，上述从勾三股四求弦五的过程，具有普遍意义，不论勾与股的大小是多少，都可以由此求出其所产生的弦的值，可以说是对勾股定理进行了一般性的证明。 作为商高来说，他不可能没有意识到这点，不可能向周公讲述只能解一道题的数学方法。所以，商高说了上述话以后，或者再继续向周公讲述了其普遍意义，或者周公已经自行领悟到了其普遍意义，所以周公才会由衷地赞叹到“大哉言数！”试想，周公如果没有领悟到勾股定理的普遍意义，会发出这种感叹么？ 不论是学习任何知识，引伸与发挥都是必不可少的，把在学习中引伸与发挥出来的意义视为洪水猛兽，一概不予承认的态度，显然是不对的。由于古经有“书不尽言，言不尽意”的简约性的特点，在阅读与学习古经时，更加要举一反三，钩深致远，触类旁通。不如此，就体会不到古经的微言大义，就等于没有读懂古经。孔夫子所倡导的这一学风，能够让我们在读古经时，领悟到很多合情合理，古经中虽有但并未明言的意义来，希望读者在读古经时能重视这一方法。 |
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