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九年级数学复课专题《旋转》教学设计 ——2019年3月26日赴泰州市智堡实验学校学习 旋转问题在陕西中考填空题14题、解答题25题中常常出现，很多学生的思维仅停留在表面，遇到此类问题不知如何思考，也不知解决这一问题的方法和技巧. 听了泰州市智堡实验学校李光红老师的专题《旋转》复课，使我认识到数学复课可以在变式中思考变式中归纳变式中升华.下面让我们先从学习目标开始欣赏李老师设计艺术： 学习目标： 1、复习巩固旋转变换的性质，初步学会运用旋转变换解决相关问题。 2、经历运用变换思想解决相关问题的过程，积累解题活动的经验. 3、勤于思考、善于交流，用联系的观点自觉概括提炼解题方法和策略. 首先，李老师设计了一个基础作图，目的就是复习巩固旋转变换的基本性质.题目如下： 问题1： 将图中的ΔAEC绕着点A按顺时针方向旋转90°，得到ΔAE'C' .在操作实践的基础上，请结合图形，说说你能得出哪些结论？ 其次，李老师在问题1之上，又提出连接EE'之后，你又能得到什么结论？思维更尽一步. （1）如图1-1所示，连接EE' ，你又能得出哪些结论？ 简析：利用旋转性质“边”“角”的关系，让学生自然判断ΔAEE'是等腰直角三角形. （1）继续追问：如果连接EE' 、CC' .那么ΔAEE'与ΔACC'有怎样关系？(编者自加上的，原设计没有，加的主要目的是为了给自己学生教学所用) 简析：ΔAEE'∽ΔACC' 理由：由旋转性质知：AC=AC',AE=AE',∠CAC'=∠EAE' 所以:AE'/AC'=AE/AC.所以ΔAEE'∽ΔACC'. 这样的设计体现了变换中的“旋转型相似”，有深度也有广度，学生可以顺着这样的思维继续下去...... 有了问题1的铺垫李老师抛出问题2让学生思考：如何通过旋转变换来解决这一问题.学生展开讨论：有两种声音： 问题2 如图2所示，在RtΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D、E在BC上，∠DAE=45°，BD=1,CE=3,求DE的长. 简析：由于AB=AC且共顶点A，故有两种旋转方式， 这里对第一种声音详细说明: 第一步：旋转作图：将ΔABD绕A点逆时针方向旋转90°得到ΔACD'. 第二步：说理：则∠B=∠ACD'=45°, ∠ECD'+∠ACD'=45°+45°=90°. 易证：ΔADE≌ΔAD'E,得到DE=D'E. 第三步：计算：连接ED',在在RtΔECD'中，ED'=根号10，则DE=根号10. 第二种声音是：将ΔACE绕A点顺时针方向旋转90°得到ΔABE'.也可完成. 通过合作探究归纳学习方法： “共顶点，等线段，用旋转”九字方针. 另附其他思想方法： （1）轴对称思想，如图2-2所示. （2）半角模型可直接“秒杀”此题. 变式思考：（编者加：添加“半角模型”学生课后完成） 变式1：如图2-4所示，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，点E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=1/2∠BAD，BE=1、DF=3、求EF的长. 变式2：如图2-4所示，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，点E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=1/2∠BAD，BE、DF、EF三条线段之间的数量关系是否仍然成立，请证明. 变换方式，顺手抛出问题3，小组合作，继续探讨： 问题3：如图3所示，在RtΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D在ΔABC的内部，AD=1,BD=根号3,CD=根号5,求∠BDA的度数. 为了能让学生真正熟练掌握“共顶点，等线段，用旋转”九字方针.李老师直接将问题3中的等腰直角三角形改为等边三角形，在问题3的基础上自己编一道运用旋转变换的类似题目，学生们都“动”了起来，课堂更加“活”了，经过大约5分钟时间，很多学生画出了图形，列举出了很多，这里我举例如下： 自主编题： 将问题3中的等腰直角三角形改为等边三角形，编写一道运用旋转变换方法能够解决的与问题3类似的问题： 紧接着，李老师改变题目，给出问题4，没有直接给出图形是等腰，而是隐含等腰三角形，让学生自己去挖掘. 问题4 如图在四边形ABCD中，AD=4,CD=3,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为 . 简析：此题隐含等腰直角三角形，“共顶点，等线段”两种思路： （1）将ΔABD绕A点顺时针旋转90°得到ΔACD' （2）将ΔACD绕点A逆时针旋转90°得到ΔAD'B 随着学生解决此类题能力的提高，问题5自然而然出来了：等腰、动点、最值.既有一般旋转的方法，又有捆绑变换，视野开阔，情趣交融；受益匪浅.同时也给我们以后的教学指明了方向. 问题5：如图，BD为⊙O的直径，BD=2，点A为半圆上一点，以点A为直角顶点、以AB为腰作等腰直角三角形ABC，则线段OC长度的最大值是 . 思路一：“共顶点，等线段”如图所示，将ΔACO绕点A顺时针旋转90°得到ΔABO'.连接OO',易知：OO'=根号2，OB=1.在ΔBOO'中，OC=BO'≤OO'+OB.即：OC≤根号2 +1 思路二：(瓜豆原理)下面详细说明：此题中点C的运动路径可以看成是由点A的运动路径以点B为旋转中心顺时针旋转45°再通过位似变换放大根号2倍得到的.故点C的运动轨迹也是圆.此时可根据点圆的距离确定OC的最大或最小值. 首先，我们确定圆心，点A在⊙O上运动，则将O点绕点B顺时针旋转45°得到O'，即点C在⊙O'上运动.其次确定⊙O'的半径.⊙O的半径为1，通过位似放大后⊙O'的半径为.故，OC≤OO'+CO'=1+根号2(当C、O'、O在同一直线上时取等号)此题，体现了图形变换“捆绑”思想.也是网络上所说的“瓜豆原理”. 到此，这节课完美结束.留给学生是数学思维的提升、变换思想的升华. 附陕西近端模考旋转试题： （2019年西安交大附中中考二模14题） 1、如图6所示，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°,AB=AD,AE⊥BC于点E，若AE=17,BC=8,CD=6,则四边形ABCD的面积为 . （2019年陕师大附中中考三模25题） 2、如图7所示，在四边形ABCD中，∠B=60°,∠D=30°,AB=BC. （1）求∠A+∠C的大小 . （2）如图7所示，连接BD，探究AD、BD、CD三者之间的等量关系，并说明理由. （3）如图7-1所示，若AB=1,求四边形ABCD面积的最大值. （2019年西安铁一中中考一模14题） 3、如图8所示，已知AC=2根号2,以AC为弦的⊙O上有B、D两点，且∠BAC=∠DAC，则四边形ABCD面积的最大值是 .
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