证明线段倍半关系四种常用方法

题：如图1，等腰△ABC中，AB＝AC，延长AB到D，使BD＝AB，E是AB的中点．求证：CD＝2CE．

这是线段倍半关系的证明，它是几何中常见的问题之一，如何解决这类问题呢？下面介绍四种常用的方法：

方法一：利用比例法

其思路是：欲证线段a＝nb（n为常数），只须证明a/b＝n即可．因此，问题解决的关键在于寻找发现与a、b有关的比例式．

在本题中，欲证CD＝2CE，只须证明CD/CE=2．因此，从一只条件出发，努力寻找与CD、CE相关的比例式，而要寻找线段比例式，就得先寻找平行线、相似三角形．但题目中显然没有这样的条件，因此，需要从已知出发去挖掘和发现．

如图1，在ΔACE与ΔADC中，由E是AB的中点，得：AE=AB/2，

又AB=AC，

所以AE/AC=（AB/2）/AC=1/2，

因为BD=AB，所以AD=2AB=2AC，

所以AC/AD=1/2，

所以AE/AC=AC/AD，

这表明ΔACE与ΔADC有两边对应成比例；

又∠A是它们的公共角，即∠A＝∠A，

ΔACE与ΔADC两边对应成比例，且夹角相等，

所以ΔACE∽ΔADC，

所以CE/CD=AC/AD=1/2，

所以CD＝2CE．

方法二：利用折半法

其思路是：欲证线段b＝2a，取较长线段b的中点，将较长的线段b分成相等的两条线段，然后证明其中一条线段与较短的线段a相等．

在本题中，欲证CD=2CE，取CD的中点F，接下来只需要想办法证明CF=CE（或DF=CE）即可．而要证明线段相等，最常用的方法是利用'全等三角形对应边相等'，因此，先找出含有边CE、CF（或DF）的三角形，再设法证明它们全等．

如图2，连结BF．在ΔBFC与ΔBEC中，显然有BC为公共边，想办法证明它们全等．

因为B是AD的中点，

所以BF∥AC，BF ＝AC/2，

所以∠FBC＝∠ACB，

因为AB＝AC，

所以∠EBC＝∠ACB，

所以∠FBC＝∠EBC，

因为E是AB的中点，所以BE＝AB/2，

所以BF＝BE，

又BC＝BC，

所以ΔBFC≌ΔBEC，

所以CF＝CE，

所以CD＝2CF=2CE．

方法三：利用加倍法

其思路是：欲证线段b＝2a，将较短的线段a延长一倍，再证延长后所得线段与较长的线段b相等．

在本题中，欲证CD=2CE，将CE延长到F，使EF＝CE（如图3），则CF＝2CE．接下来只需要证明CF＝CD即可．而要证明CF=CD，仿照方法二去寻找全等三角形．

连结AF、BF．因为E是AB的中点，

所以四边形AFBC是平行四边形，

所以BF∥AC，

所以∠FBA＝∠BAC，

所以∠FBC＝∠FBA＋∠ABC

＝∠BAC＋∠ABC，

因为∠DBC＝∠BAC＋∠ACB，

而AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB，

所以∠FBC＝∠DBC，

又BF＝AC＝AB＝BD，BC＝BC，

所以ΔBCF≌ΔBCD，

所以CF＝CD，

所以CD＝2CE．

方法四：利用中位线法

其思路是：从'三角形的中位线等于第三边的一半'入手，欲证线段b＝2a，构造以较长的一条b为第三边的三角形的中位线，再证明较短的一条a与中位线相等．当题目条件恰好有'中点'时，这种方法显得尤为珍贵．

在本题中，如图4，考虑到B是△ACD的边AD的中点，取AC的中点F，连结BF．则BF是△ACD的中位线，从而BF＝CD/2，即CD=2BF，因此，欲证CD=2CE，只需要证明BF＝CE．

因为E是AB的中点，AB＝AC，

所以CE 和BF都是等腰△ABC腰上的中线，

所以BF＝CE，

所以CD=2CE．