一类高难度几何题的证明口诀

证明ab＋cd＝ef（其中a、b、c、d、e、f为图中已知的线段）几何题历来是中学数学学习中难点，面对这类问题一开始就令人觉得无从下手，或思考不了几步便黔驴技穷，最终都不得不遗憾地放弃．

笔者通过对这类问题的探索，发现这类的证明大多遵循着这样的思路：在线段e上找到一个点X，把该线段分为两条m、n，使其中的一条m满足ab=mf，然后再证明另一条n满足cd=nf，此时再把两式相加便有ab＋cd＝mf＋nf＝（m＋n）f＝ef．

这种解法跟代数中列方程解应用题的'设元'有点类似，姑且称之为——设未知点法．

具体请看以下几例．

例1如图1，AB是半圆的直径，弦AC、BD相交于点E．

求证：AE·AC+BE·BD＝AB^2．

证明：设X是AB上一个点，则

＝AB（AX+BX）＝AB·AX+AB·BX，

令点X满足：AE·AC= AB·AX…………（1）

即AE/AB=AX/AC．

连接BC．

因为∠EAX＝∠BAC，

所以ΔAXE∽ΔACB，

所以∠AXE＝∠C，

因为AB为直径，所以∠C＝90°，

所以∠AXE＝90°，

所以∠BXE＝90°．

连接AD．则∠D＝90°，

因为∠EBX＝∠ABD，

所以ΔBEX∽ΔBAD，

所以BE/BA=BX/BD，

所以BE·BD=BX·AB………………（2）

（1）+（2），得：

AE·AC+BE·BD=AB·AX+BX·BA

＝AB·（AX+BX）＝AB·AB=AB^2，

即AE·AC+BE·BD＝AB^2．

例2　如图2，ABCD是圆内接四边形．

求证：AB·CD+AD·BC＝AC·BD（托勒密定理）．

证明：在AC上取点X，使

AB·CD＝AX·BD…………（1）

连接BX，则在ΔABX与ΔDBC中，

AB/AX=BD/CD，

因为∠BAX＝∠BDC，

所以ΔABX∽ΔDBC，

所以∠ABX＝∠DBC，

所以∠ABX－∠DBX＝∠DBC－∠DBX，

即∠ABD＝∠CBX，

又∠ADB＝∠BCX，

所以ΔABD∽ΔXBC，

所以AD/XC=BD/BC，

所以AD·BC＝XC·BD…………（2），

（1）+（2），得

AB·CD+AD·BC＝（AX+XC）·BD＝AC·BD．

例3 如图3，等腰ΔABC中，AB＝AC，D是底边BC上任一点．

求证：AB^2=AD^2+BD·DC．

证明：在AB上取点X，使

AD^2=AX·AB………（1）

则AD/AX=AB/AD，

在ΔADX与ΔABD中，

因为∠BAD＝∠DAX，

所以ΔADX∽ΔABD，

所以∠ADX＝∠B，

因为AB=AC，

所以∠B＝∠C，

所以∠ADX＝∠C，

因为∠BDA＝∠C+∠CAD，

即∠BDX+∠ADX＝∠C+∠CAD，

所以∠BDX＝∠CAD，

所以ΔDBX∽ΔACD，

所以BD/AC=BX/CD，

所以BD·DC=BX·AC……………（2）

（1）+（2），得

AD^2+BD·DC =AX·AB+BX·AB

=（AX+BX）·AB＝AB·AB= AB^2．

所以AB^2=AD^2+BD·DC．

例4（2013年全国初中数学联赛题）如图4，圆内接四边形ABCD中，CB＝CD．

求证：CA^2－CB^2＝AB·AD．

证明：把求证式改为

CA^2=CB^2+AB·AD．

在CA上取点X，使

CB^2＝CX·CA………（1）

连接BX．则在ΔCBX与ΔCAB中，

CB/CX=CA/CB，

因为∠BCX＝∠ACB，

所以ΔCBX∽ΔCAB，

所以∠CXB＝∠CBA，

因为四边形ABCD内接于圆，

所以∠CBA+∠D＝180°，

所以∠CXB+∠D＝180°，

因为∠AXB+∠CXB＝180°，

所以∠AXB＝∠D，

因为CB=CD，

所以∠XAB=∠DAC，

所以ΔABX∽ΔACD，

所以AB/AC=AX/AD，

所以AB·AD =AX·CA………………（2）

（1）+（2），得

CB^2+AB·AD＝CX·CA+AX·CA

＝CA(CX+AX)=CA·CA= CB^2，

所以CA^2－CB^2＝AB·AD．

例5　如图5，AD为△ABC的角平分线，

求证：AD^2＝AB·AC－BD·DC．

证明：把求证式化为：

AD^2＋BD·DC＝AB·AC．

在AB上取点X，使

AD^2=AX·AC…………（1）

连接DX，则在△ADX与△ACD中，

AD/AC=AX/AD，

因为AD为△ABC的角平分线，

所以∠DAX＝∠DAC，

所以ΔADX∽ΔACD，

所以∠AXD=∠ADC，∠ADX＝∠C，

因为∠BXD+∠AXD=180°，

所以∠BXD+∠ADC=180°

所以sin∠BXD=sin∠ADC；

因为∠BDA=∠C+∠CAD，

即∠BDX+∠ADX=∠C+∠CAD，

所以∠BDX=∠CAD，

所以sin∠BDX=sin∠CAD．

在△BDX与△ACD中，分别由正弦定理，得：

BD/BX=sin∠BXD/sin∠ADC，

AC/DC= sin∠BDX/sin∠CAD，

所以BD/BX=AC/DC，

所以BD·DC=BX·AC………………（2）

（1）+（2），得

AD^2+BD·DC= AX·AC+BX·AC

=（AX+BX）·AC

＝AB·AC，

所以AD^2＝AB·AC－BD·DC．

从以上各例的证明来看，这种设未知点法的思路与运用过程可用口诀归纳为如下口诀：

取点得到等积式，化为比例证相似，相似推出角相等，再把相似比例证，化等积再相加，整理即把结论证。