2019高考100题之035(抛物线3)

       分析：

       在三十天冲刺（二十七）——《抛物线的定义、方程与性质》

以及2018高考数学100弹之第67弹：抛物线的焦点弦中，我们把和过抛物线焦点的弦有关的性质作了详细分析，去年全国3卷理科填空最后一题又出现了这样的结构。

       如下图，AB是过焦点的弦，AC、BD分别和准线垂直，垂足为C、D，AB、CD的中点分别为N、M，则由|MN|为|AC|+|BD|的一半，可得|MN|为|AB|的一半，所以以AB为直径的圆和准线相切于M点，也就是准线上使得∠AMN为90度的点M是唯一存在的，又∠AMN=∠MAN=∠CAM，所以ΔACM和ΔAFM全等，所以MF和AF垂直.

       作为小题来说，如果积累了这些结论，那么我们可以直接说明AB的斜率为MF斜率的负倒数，为2.

       如果没有积累这些结论，不会或者说不敢从抛物线的定义出发然后利用几何性质来推导，那么就只能用解析的做法来解决了，做法如下：

       设AB方程为my=x-1，和抛物线联立得y²-4my-4=0，

       设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，

       则y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，

       由MA和MB垂直，可得向量MA和向量MB的数量积为0，

       即(x₁+1)(x₂+1)+(y₁-1)(y₂-1)

       =(m²+1)y₁y₂+(2m-1)(y₁+y₂)+5

       =-4(m²+1)+4m(2m-1)+5=0，

       解得m=1/2，所以AB斜率为2.

       这个做法就是常见的解析大题的套路，对于计算能力很强的同学，用不上三五分钟，就能解出答案，但是再快也快不过上面的几何方法，而且最关键这个方法解出来后是不是心里还有点忐忑，不确定答案百分百准确.

       所以多积累结论一定是有好处的，椭圆和双曲线也有准线，但是现行教材不涉及，所以就剩抛物线这根独苗考查准线，和抛物线准线有关的知识大家一定要引起足够的重视.