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对数与对数函数之间不得不说的秘密

2019-04-22  京津冀书...

考纲原文

(1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用.

(2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.

(3)知道对数函数是一类重要的函数模型.

对数与对数函数之间不得不说的秘密


知识点讲解

一、对数与对数运算

1.对数的概念

对数与对数函数之间不得不说的秘密

(2)牢记两个重要对数:常用对数,以10为底的对数lgN;自然对数,以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN.

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2.对数的性质

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3.对数的运算性质

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4.对数的换底公式

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换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数,进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底,由已知条件来确定,一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数.

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二、对数函数及其性质

1.对数函数的概念

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2.对数函数的图象和性质

一般地,对数函数 的图象与性质如下表所示:

对数与对数函数之间不得不说的秘密

在直线x=1 的右侧,当a>1 时,底数越大,图象越靠近x轴;当0<a<1 时,底数越小,图象越靠近x轴,即“底大图低”.

3.对数函数与指数函数的关系

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考向分析

考向一 对数式的化简与求值

对数运算的一般思路:

(1)对于指数式、对数式混合型条件的化简与求值问题,一般可利用指数与对数的关系,将所给条件统一为对数式或指数式,再根据有关运算性质求解;

(2)在对数运算中,可先利用幂的运算性质把底数或真数变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后运用对数的运算性质、换底公式,将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算.

注意:

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(2)注意利用等式lg2+lg5=1 .

考向二 对数函数的图象

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3.对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想求解.特别地,要注意底数a>1 和0<a<1 的两种不同情况.有些复杂的问题,借助于函数图象来解决,就变得简单了,这是数形结合思想的重要体现.

4.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.

考向三 对数函数性质的应用

对数函数的性质及其应用是每年高考的必考内容之一,多以选择题或填空题的形式呈现,难度易、中、难都有,且主要有以下几种命题角度:

(1)比较对数式的大小:

①若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论;

②若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较;

③若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.

(2)解对数不等式:

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考向四 对数函数的复合函数问题

与对数函数相关的复合函数问题,即定义域、值域的求解,单调性的判断和应用,与二次函数的复合问题等,解题方法同指数函数类似.研究其他相关函数的单调性、奇偶性一般根据定义求解,此外,需特别注意对数函数的定义域及底数的取值.

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【名师点睛】

1、利用指数函数、对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小,一方面要比较两个实数或式子形式的异同,底数相同,考虑指数函数增减性,指数相同考虑幂函数的增减性,当都不相同时,考虑分析数或式子的大致范围,来进行比较大小,另一方面注意特殊值 的应用,有时候要借助其“桥梁”作用,来比较大小.

判断复合函数单调性要注意把握两点:一是要同时考虑两个函数的的定义域;二是同时考虑两个函数的单调性,正确理解“同增异减”的含义(增增 增,减减 增,增减 减,减增 减).

2、对于连等问题,常规的方法是令该连等为同一个常数,再用这个常数表示出对应的 ,通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则,尤其是换底公式以及0与1的对数表示.

3、比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较;若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.

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