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高中数学圆锥曲线，有意思的双曲线题，普通学生能做对，中上的反而会错。题目内容：已知双曲线的方程为x^2－y^2/2＝1，试问：是否存在被点B(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由。考查知识：1、直线与圆锥曲线问题中设而不求的用法以及使用细节；2、圆锥曲线弦的中点坐标与弦所在直线的斜率之间的关系以及使用前提。  对于成绩较好的学生，看到题目内容是有关双曲线弦的中点坐标以及弦所在直线的斜率问题，首先想到的就是使用“圆锥曲线弦的中点坐标与弦所在直线的斜率之间的关系”来求直线的斜率，具体过程如下，最终求出了一个k值，故得出存在满足题意的弦。  上面的求解方法的一个使用前提是“弦”所在的直线与双曲线有两个交点，但上面的过程不能保证这一点，所以求出直线的斜率k后，要进行检验，如下，把求得的直线方程与双曲线方程联立，最终发现无解，即求得的直线不符合题意，故不存在符合题意的弦。这是一部分成绩较好的学生在这个问题上容易出错的地方。  为什么说成绩普通的学生反而不出错呢？因为普通学生首先容易想到的是使用设而不求（韦达定理）的方法来求解，这种方法是处理直线与圆锥曲线问题最基础最常用的方法，过程咱们都熟悉，具体如下，虽然计算过程比较繁琐，但思路简单熟悉，反而不容易出错。
总结：以上两种方法都需要保证直线与圆锥曲线有两个交点，一般都是通过直线和圆锥曲线联立方程组，只要方程组有两组解，则直线与圆锥曲线就有两个交点。 高中、高考、基础、提高、真题讲解，专题解析；孙老师数学，全力辅助你成为数学解题高手。 |
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