2007年高考数学试题汇编——圆锥曲线（三）

2007年高考数学试题汇编——圆锥曲线（三）

　　14、（四川理）（本小题满分12分）设、分别是椭圆的左、右焦点.

 

　　（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值;

 

　　（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.

 

　　本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。

 

　　解：（Ⅰ）解法一：易知

 

　　所以，设，则

 

　　

 

　　因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值

 

　　当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值

 

　　解法二：易知，所以，设，则

 

　　

 

　　（以下同解法一）

 

　　（Ⅱ）显然直线不满足题设条件，可设直线，

 

　　联立，消去，整理得：

 

　　∴

 

　　由得：或

 

　　又

 

　　∴

 

　　又

 

　　∵，即  ∴

 

　　故由①、②得或

 

　　15、（上海理）已知双曲线，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为

 

　　【解析】双曲线的中心为O（0,0），该双曲线的左焦点为F（－3,0）则抛物线的顶点为（－3,0），焦点为（0,0），所以p=6，所以抛物线方程是)

 

　　16、（上海理）已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中，是对应的焦点。

 

　　（1）若三角形是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；

 

　　（2）若，求的取值范围；

 

　　（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数，使得斜率为的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由。

 

　　解（1）∵F0（c，0）F1（0，），F2（0，）

 

　　∴| F0F1 |＝，| F1F2 |＝

 

　　于是，，所求“果圆”方程为

 

　　（x≥0），（x≤0）．                                ……4分

 

　　（2）由题意，得a＋c＞2b，即．

 

　　∵（2b）2＞b2＋c2，∴a2－b2＞（2b－a）2，得                      ……7分

 

　　又b2＞c2＝a2－b2，∴．

 

　　∴．

 

　　（3）设“果圆”的方程为（x≥0）（x≤0）

 

　　记平行弦的斜率为k．

 

　　当k＝0时，直线y＝t（－b≤t≤b）与半椭圆（x≥0）的交点是

 

　　，与半椭圆（x≤0）的交点是Q（）．

 

　　∴P、Q的中点M（x，y）满足

 

　　得．

 

　　∵a＜2b，∴．

 

　　综上所述，当k＝0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆……14分

 

　　当k＞0时，以k为斜率过B1的直线l与半椭圆（x≥0）的交点是

 

　　由此，在直线l右测，以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上． ……17分

 

　　当k＜0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．      ……18分

 

　　17、（上海文）我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中，，．如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆” 与，轴的交点，是线段的中点．

 

　　            

 

　　（1）若是边长为1的等边三角形，求该

 

　　“果圆”的方程；

 

　　（2）设是“果圆”的半椭圆

 

　　上任意一点．求证：当取得最小值时，

 

　　在点或处；

 

　　（3）若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标．

 

　　解：（1） ，

 

　　，

 

　　于是，

 

　　所求“果圆”方程为，． 

 

　　（2）设，则

 

　　    

 

　　           ，

 

　　     ， 的最小值只能在或处取到．

 

　　     即当取得最小值时，在点或处．                   

 

　　    （3），且和同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圆”的半椭圆上的情形即可．             

 

　　

 

　　       ．

 

　　当，即时，的最小值在时取到，

 

　　此时的横坐标是．                                       

 

　　当，即时，由于在时是递减的，的最小值在时取到，此时的横坐标是．                               

 

　　综上所述，若，当取得最小值时，点的横坐标是；若，当取得最小值时，点的横坐标是或．

 

　　18、（陕西文）抛物线的准线方程是

 

　　（A）                                （B）

 

　　（C）                                （D）

 

　　解析：P=，准线方程为y=，即，选B

 

　　19、（陕西文）已知双曲线C∶＞0,b＞0),以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是

 

　　（A）a                 (B)b                      (C)                      (D)

 

　　解析：圆的半径是（C，0）到渐近线的距离，所以R=，选B

 

　　20、（陕西文）(本小题满分14分)已知椭圆C:=1(a＞b＞0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.

 

　　(Ⅰ)求椭圆C的方程;

 

　　(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值.

 

　　解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意

 

　　，所求椭圆方程为．

 

　　（Ⅱ）设，．

 

　　（1）当轴时，．

 

　　（2）当与轴不垂直时，

 

　　设直线的方程为．

 

　　由已知，得．

 

　　把代入椭圆方程，整理得，

 

　　，．

 

　　

 

　　

 

　　．

 

　　当且仅当，即时等号成立．当时，，

 

　　综上所述．

 

　　当最大时，面积取最大值．

 

　　21、（山东理）设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为             ．

 

　　【分析】：过A 作轴于D，令，则，，。