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2007年高考数学试题汇编——圆锥曲线(三)

2013-12-08  720815
2007年高考数学试题汇编——圆锥曲线(三)

  14、(四川理)(本小题满分12分)设分别是椭圆的左、右焦点.

 

  (Ⅰ)若是该椭圆上的一个动点,求·的最大值和最小值;

 

  (Ⅱ)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点,且∠为锐角(其中为坐标原点),求直线的斜率的取值范围.

 

  本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识,以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。

 

  解:(Ⅰ)解法一:易知

 

  所以,设,则

 

  

 

  因为,故当,即点为椭圆短轴端点时,有最小值

 

  当,即点为椭圆长轴端点时,有最大值

 

  解法二:易知,所以,设,则

 

  

 

  (以下同解法一)

 

  )显然直线不满足题设条件,可设直线

 

  联立,消去,整理得:

 

  

 

  由得:

 

  又

 

  ∴

 

  又

 

  ∵,即 

 

  故由①、②得

 

  15、(上海理)已知双曲线,则以双曲线中心为焦点,以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为

 

  【解析】双曲线的中心为O0,0),该双曲线的左焦点为F(-3,0)则抛物线的顶点为(-3,0),焦点为(0,0),所以p=6,所以抛物线方程是)

 

  16、(上海理)已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”,其中是对应的焦点。

 

  (1)若三角形是边长为1的等边三角形,求“果圆”的方程;

 

  (2)若,求的取值范围;

 

  (3)一条直线与果圆交于两点,两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数,使得斜率为的直线交果圆于两点,得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上?若存在,求出所有的值;若不存在,说明理由。

 

  解(1)∵F0c0F10),F20

 

  ∴| F0F1 || F1F2 |

 

  于是,所求“果圆”方程为

 

  x0),x0).                                ……4

 

  (2)由题意,得ac2b,即

 

  ∵(2b2b2c2,∴a2b2>(2ba2,得                      ……7

 

  又b2c2a2b2,∴

 

  ∴

 

  (3)设“果圆”的方程为x0x0

 

  记平行弦的斜率为k

 

  当k0时,直线yt(-btb)与半椭圆x0)的交点是

 

  ,与半椭圆x0)的交点是Q).

 

  ∴PQ的中点Mxy)满足

 

  得

 

  ∵a2b,∴

 

  综上所述,当k0时,“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆……14

 

  当k0时,以k为斜率过B1的直线l与半椭圆x0)的交点是

 

  由此,在直线l右测,以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上,即不在某一椭圆上. ……17

 

  当k0时,可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上.      ……18

 

  17、(上海文)我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”,其中.如图,设点是相应椭圆的焦点,是“果圆” 轴的交点,是线段的中点.

 

              

 

  (1)若是边长为1的等边三角形,求该

 

  “果圆”的方程;

 

  (2)设是“果圆”的半椭圆

 

  上任意一点.求证:当取得最小值时,

 

  在点处;

 

  (3)若是“果圆”上任意一点,求取得最小值时点的横坐标.

 

  解:(1

 

  

 

  于是

 

  所求“果圆”方程为 

 

  (2)设,则

 

      

 

            

 

       的最小值只能在处取到.

 

       即当取得最小值时,在点处.                   

 

      3,且同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上,所以,由(2)知,只需研究位于“果圆”的半椭圆上的情形即可.             

 

  

 

        

 

  当,即时,的最小值在时取到,

 

  此时的横坐标是                                       

 

  当,即时,由于时是递减的,的最小值在时取到,此时的横坐标是                               

 

  综上所述,若,当取得最小值时,点的横坐标是;若,当取得最小值时,点的横坐标是

 

  18、(陕西文)抛物线的准线方程是

 

  (A                                B

 

  (C                                D

 

  解析:P=,准线方程为y=,即,选B

 

  19、(陕西文)已知双曲线C0,b0),C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是

 

  (Aa                 (B)b                      (C)                      (D)

 

  解析:圆的半径是(C0)到渐近线的距离,所以R=,选B

 

  20、(陕西文)(本小题满分14)已知椭圆C:=1(ab0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.

 

  ()求椭圆C的方程;

 

  ()设直线l与椭圆C交于AB两点,坐标原点O到直线l的距离为,求△AOB面积的最大值.

 

  解:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为,依题意

 

  所求椭圆方程为

 

  (Ⅱ)设

 

  (1)当轴时,

 

  (2)当轴不垂直时,

 

  设直线的方程为

 

  由已知,得

 

  把代入椭圆方程,整理得

 

  

 

  

 

  

 

  

 

  当且仅当,即时等号成立.当时,

 

  综上所述

 

  最大时,面积取最大值

 

  21、(山东理)设是坐标原点,是抛物线的焦点,是抛物线上的一点,轴正向的夹角为,则            

 

  【分析】:过A 轴于D,令,则

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