直线的参数方程有什么用。

直线，

 

要精确的描述直线，先要用数量表示点，这些点同时满足的方程，就是直线的方程。

那今天我们把直线放在直角坐标系里。

你首先观察到这条直线，它是斜着的。

于是我们先想办法描述直线的倾斜程度。

就用那个角吧，倾斜角，直线向上的方向与x轴正方向的夹角。记作α。 

只知道直线的倾斜角，能得到一整排平行直线，如果再确定直线上一个点，就能唯一的确定这条直线了。

 

好，下面我们开始给这条直线写方程。

直线上任意点M(x,y)满足的条件，整理成方程，也就是直线MM₀的方程。

把几何关系集中到直角△MM₀N中，

 

那肯定要用到三角函数来表示x和y的数量关系了。

1.

一种思路是，就现在的图像而言，斜边带着根号，索性用两直角边之比，也就是倾斜角的正切值，

给tanα起一个新名字，叫做直线的斜率k，此时直线的方程有：

y-y₀=k(x-x₀)

但这里有一个巨大的问题，就是正切函数自带定义域：

当倾斜角是90°的时候，正切值无意义，

此时直线垂直于x轴，斜率不存在。

这就给很多问题带来了麻烦：

你每次设直线斜率之前，都要考虑k不存在的情况。

（2018年全国III）

在平面直角坐标系xOy中，圆O的方程是x²+y²=1，过点（0，-√2 ）且倾斜角为α的直线l与圆O交于A、B两点，求α的取值范围。

解：

2.

可见用倾斜角的正切值（斜率）表示倾斜程度挺讨厌的，总是要考虑倾斜角是不是90°，那还回到我们直线的上任意点M的坐标上。

 

正切不好用，我就用正弦和余弦，那就要用到斜边，

用x和y表示斜边太麻烦，我干脆直接设斜边！

 

设斜边MM₀=t，则有

细想会出现一个问题，如果t只表示长度，那直线上与M₀点距离为t的点M有对称的两个，那我们优化一下这种做法，给t赋一个方向：

规定M在直线向上的方向，则t>0；

M在直线向下的方向，则t<0；

特别地，当M与M₀重合，则t=0.

将上图优化一下：

 

整理得

至此，我们就能用一个参数t，表示直线上任意点M的横纵坐标，不用去找x和y之间的关系了。

（2018年全国III）

在平面直角坐标系xOy中，圆O的方程是x²+y²=1，过点（0，-√2 ）且倾斜角为α的直线l与圆O交于A、B两点，求α的取值范围。

解：

由于直线l与圆O交于两点，则联立直线与圆的方程可得两解。

设直线l的参数方程为：

明显简单多了。

所以你看，参数方程的好处是什么呢，

避免考虑正切的定义域，也就是斜率不存在的情况。