当题目中出现证明线段不等时，辅助线的引用技巧例题1 如图已知，AD为△ABC的中线且∠1＝∠2，∠3＝∠4， 求证：BE＋CF＞EF。 解题方法： 当遇到题目中给出角分线这样已知条件时，通常情况下的解题方法是在角两边截取相等的线段，构造全等三角形，进而将问题解决。 证明： 在DE上截取DN＝DB，连接NE、NF， 则DN＝DC， 在△BDE和△NDE中， DN＝DB， ∠1＝∠2， ED＝ED， △BDE≌△NDE， BE＝NE， 同理可证：CF＝NF， 在△EFN中，EN＋FN＞EF， 所以BE＋CF＞EF。 例题2 如图已知，AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4， 求证：BE＋CF＞EF。 解题方法; 当题目中的已知条件给出有以线段中点为端点的线段时，通常的解题方法是：加倍延长这条线段，通过构造全等三角形进行求解。 证明： 延长ED到M，使得DM＝DE，连结CM、FM， △BDE和△CDM中， BD＝CD， ∠1＝∠5, ED＝MD， 所以△BDE≌△CDM， 所以CM＝BE。 有因为∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°， 所以∠3＋∠2＝90°， 即∠EDF＝90°， 所以∠FDM＝∠EDF＝90°， △EDF和△MDF中， ED＝DF， 所以△EDF≌△MDF， 所以EF＝MF， 因为在△CMF中，CF＋CM＞MF， BE＋CF＞EF。 例题3 如图已知，AD为△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。 解题方法： 当题目中的已知条件给出有中线时，通常加倍延长中线这条线段，来构造全等三角形进而解题。 证明： 延长AD至E，使得DE＝AD，连接BE， 因为AD为ABC中线， 所以BD＝CD， 在△ACD和△EBD中 ， BD＝CD，∠1＝∠2，AD＝ED， 所以△ACD≌△EBD， 因为△ABE中有AB＋BE＞AE， 所以AB＋AC＞2AD。 例题4 如图已知，在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任一点， 求证：AB－AC＞PB－PC。 解题方法： 遇到这种类型的题目时，我们通常采用截长补短法，作辅助线来进行解题。 截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等； 这两种方法统称为截长补短法。 这种方法主要适用于题目已知或者求证中涉及到线段a、b、c、d有下列情况之一时，使用这种方法。 ①a＞b ②a±b＝c ③a±b＝c±d 证明： ⑴截长法： 在AB上截取AN＝AC，连接PN， 在△APN和△APC中， N＝AC，∠1＝∠2，AP＝AP 所以△APN≌△APC， 所以PC＝PN 因为△BPN中有PB－PC＜BN， 所以PB－PC＜AB－AC。 ⑵补短法 延长AC至M，使AM＝AB，连接PM， 在△ABP和△AMP中， AB＝AM，∠1＝∠2，AP＝AP， 所以△ABP≌△AMP，所以PB＝PM， 又因为在△PCM中有CM＞PM－PC， 所以AB－AC＞PB－PC。 练习： 1.已知，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE是△ABC的角平分线，并且它们交于点O。求证：AC＝AE＋CD。 2.已知如图，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BC＝AB＋CD。 |
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