有理数系数无理根的一元二次方程怎么解？

题1：已知m、n为有理数，关于x的方程x^²+mx+n=0有一个根为2+√3，求方程的另一个根及m、n的值．

分析与解：不少学生一见此题首先想到的解法是：把x=2+√3代入方程，得：

(2+√3)^²+m(2+√3)+n=0．

至此才发现已知条件好像缺少了一个，或者说方程的字母系数多了一个．总之，认为已知的条件不足以解决这道题．这种认为显然是受到曾经解过以下类似题目的影响．

题2：已知x=2+√3是关于x的方程x^²-mx+m-3=0的一个根，求方程的另一个根及m的值．

对于这个题，人人都会想到如下的解法：

把x=2+√3代入方程，得：

(2+√3)^²-m(2+√3)+m-3=0．

整理，得：(1+√3)m=4(1+√3)，

所以m=4，

所以方程为：x^²-4x+1=0，

解得方程的另一根为2-√3.

仔细比较一下两道题的异同点，题1的字母系数比题2多了一个；题1强调字母系数m、n为有理数，而题2对m的值不强调为有理数；题1和题2的相同点都是方程的一个根为2+√3，这是一个无理数根．

由此可见，解决题1的关键在于理解和运用系数为有理数这个条件．

首先，我们仍然是把x=2+√3代入方程，得：

(2+√3)^²+m(2+√3)+n=0，

即7+4√3+2m+√3m+n=0，

接下来对方程左边按有理数和无理数归类分组，得：

(7+2m+n)+(4+m)√3=0，

因为m，n为有理数，所以7+2m+n是有理数，

如果4+m≠0，则(4+m) √3为无理数，

因为有理数与无理数的和不等于0，

所以等式(7+2m+n)+(4+m)√3=0不成立，

所以4+m=0，m=-4，

把m=-4代入(7+2m+n)+(4+m)√3=0，得

7+2×(-4)+n=0，解得n=1，

所以原方程为x^²-4x+1=0，

解得另一根为2-√3.

所以，方程的另一个根为2-√3，m=-4，n=1.

题1是有理系数一元二次方程无理数根的问题，这类问题的解法除了上述方法外，事实上还可以根据如下结论进行简捷地求解．

如果x=m+√n(m，n为有理数，√n是无理数)是有理系数一元二次方程ax^²+bx+c=0(a≠0)的一个根，则x=m-√n是该方程的另一个根．

比如上述题1的解法，在未解得m，n时，我们就可以确定方程的另一个根是2-√3，然后由根和系数的关系(韦达定理)即可得：

(2+√3)+(2-√3)=-m，

(2+√3)(2-√3)=n，

所以m=-4，n=1.

运用这个结论解得的结果与上述是一样的，而我们要问的是：这个结论对一般的一元二次方程成立吗？回答是肯定的．下面进行证明．

因为x=m+√n(m，n为有理数)是有理系数一元二次方程ax^²+bx+c=0(a≠0)的一个根，

所以a(m+√n)^²+b(m+√n)+c=0，

整理，得：(am^²+an+bm+c)+(2am+b) √n=0，

因为a、b、c、m、n都是有理数，

所以am^²+an+bm+c和2am+b也都是有理数，

因为√n是无理数，

所以am^²+an+bm+c=0且2am+b=0，

当x=2-√n时，方程ax^²+bx+c=0的左边为：

a(m-√n)^²+b(m-√n)+c

=(am^²+an+bm+c)-(2am+b) √n

=0-0√n=0=右边，

所以x=2-√n是方程ax^²+bx+c=0的根．